| x^2 + y^2 u = v | x + y^2 = u |
(a) Expresse as derivadas xu e yv em termos de x, y, u e v.
(b) Determine um par de funções x = x(u, v) e y = y(u, v) definidas pelo sistema (*).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado apresenta um sistema de equações envolvendo as variáveis , , e . A matéria em questão aqui é derivadas parciais e sistemas de equações não lineares. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de derivação implícita e métodos para encontrar funções definidas por um sistema de equações.

Passo 2

Começando pela parte (a), precisamos encontrar as derivadas parciais e . Isso significa que queremos saber como varia quando varia (mantendo constante) e como varia quando varia (mantendo constante).

Passo 3

Vamos usar a técnica de derivação implícita. Temos o sistema:
Vamos derivar cada equação em relação a e , tratando e como funções de e .

Passo 4

Primeiro, derivamos a primeira equação em relação a :
Isso resulta em:
Como é tratado como constante em relação a quando derivamos , temos :

Passo 5

Agora, derivamos a segunda equação em relação a :
Isso dá:

Passo 6

Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
Resolvendo esse sistema, podemos expressar e em termos de , , e .

Passo 7

Resolvendo o sistema acima, isolamos :
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Agrupando os termos com :
Então:

Passo 8

Agora que temos , substituímos de volta em :
Simplificando a expressão:

Passo 9

Para encontrar , seguimos um raciocínio similar. Derivamos o sistema em relação a :
Derivando a primeira equação em relação a :
Simplificando:
Derivando a segunda equação em relação a :

Passo 10

Agora, temos:
Resolvendo esse sistema:
Isolamos da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:
Fatorando :

Passo 11

Agora, substituímos na expressão de :

Passo 12

Portanto, as derivadas parciais são:

Resposta

As derivadas são e .

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