Complete a tabela abaixo, escrevendo a variação de cada função no intervalo indicado:
1 x x^{2} x+1
[0,1] 0 1 1 1
\left[0, \frac{1}{2}\right]
\left[\frac{1}{2}, 1\right]

Passo 1

O enunciado pede para completar uma tabela indicando a variação de cada função nos intervalos dados. As funções (colunas) são, na ordem: 1, x, x^{2}, x+1. Os intervalos (linhas) a completar são \left[0,\tfrac{1}{2}\right] e \left[\tfrac{1}{2},1\right]. A primeira linha [0,1] já está preenchida com os códigos 0,1,1,1 correspondentes às quatro funções, respectivamente.
O que falta é preencher as duas linhas de baixo com os códigos análogos (onde, pelo que a primeira linha indica, 0 significa “constante” e 1 significa “crescente”).

Passo 2

Vamos entender direitinho o que significa “variação” aqui (sem jargão):
  • Uma função f é crescente num intervalo I se, para quaisquer a,b\in I com a<b, vale f(a)\le f(b). Se sempre ocorre f(a)<f(b) para a<b dizemos “estritamente crescente”.
  • Uma função f é constante num intervalo I se, para quaisquer a,b\in I, vale f(a)=f(b).
    Pelo preenchimento já dado para [0,1] entendemos que usaremos o código 0 para “constante” e 1 para “crescente”. Não há aqui indicação de função decrescente, então não precisamos desse código.

Passo 3

Função 1 (a função constante).
  • Para qualquer x em qualquer intervalo, 1 tem valor sempre igual a 1. Ou seja, se a<b então 1=1, logo 1 é constante em qualquer intervalo.
  • Portanto nas duas linhas que faltam (tanto \left[0,\tfrac{1}{2}\right] quanto \left[\tfrac{1}{2},1\right]) a variação da função 1 é 0.

Passo 4

Função x (a identidade).
  • Se a<b então, claramente, a<b implica a< b nos valores de x, isto é, x(a)=a<x(b)=b. Assim x é estritamente crescente em qualquer intervalo da reta.
  • Logo em \left[0,\tfrac{1}{2}\right] e em \left[\tfrac{1}{2},1\right] a variação da função x é 1.

Passo 5

Função x+1.
  • Somar a mesma constante a todos os valores de uma função não muda sua ordem entre pontos. Para quaisquer a<b temos a+1<b+1. Portanto x+1 é tão crescente quanto x.
  • Assim em \left[0,\tfrac{1}{2}\right] e em \left[\tfrac{1}{2},1\right] a variação da função x+1 é 1.

Passo 6

Função x^{2} na região considerada. Explicação cuidadosa e sem pular etapas.
  • Queremos ver se x^{2} é crescente em intervalos que estão dentro de [0,1]. Tome a,b tais que 0\le a<b\le1. Calcule a diferença
b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a).
Aqui b-a>0 porque a<b, e b+a\ge0 (na verdade b+a>0 porque pelo menos um dos dois é positivo, exceto no caso a=b=0, mas já consideramos a<b). Como o produto de dois números não-negativos e com o primeiro estritamente positivo é estritamente positivo, temos b^{2}-a^{2}>0. Portanto a^{2}<b^{2}.
  • Conclusão: x^{2} é estritamente crescente em todo intervalo contido em [0,1]. Assim em \left[0,\tfrac{1}{2}\right] e em \left[\tfrac{1}{2},1\right] a variação de x^{2} é 1.

Passo 7

Agora já temos todas as entradas: para cada uma das duas linhas que faltavam, as variações nas quatro colunas 1,\;x,\;x^{2},\;x+1 são, respectivamente, 0,1,1,1.

Resposta

\left[0,\tfrac{1}{2}\right]:\\\ 0,\\\ 1,\\\ 1,\\\ 1
\left[\tfrac{1}{2},1\right]:\\\ 0,\\\ 1,\\\ 1,\\\ 1

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