Complete a tabela abaixo, escrevendo a variação de cada função no intervalo indicado:
1
0
1
1
1
| 1 |
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0 | 1 | 1 | 1 |
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Passo 1
O enunciado pede para completar uma tabela indicando a variação de cada função nos intervalos dados. As funções (colunas) são, na ordem:
,
,
,
. Os intervalos (linhas) a completar são
e
. A primeira linha
já está preenchida com os códigos
correspondentes às quatro funções, respectivamente.
O que falta é preencher as duas linhas de baixo com os códigos análogos (onde, pelo que a primeira linha indica, significa “constante” e
significa “crescente”).
O que falta é preencher as duas linhas de baixo com os códigos análogos (onde, pelo que a primeira linha indica,
Passo 2
Vamos entender direitinho o que significa “variação” aqui (sem jargão):
- Uma função
é crescente num intervalo se, para quaisquer com , vale . Se sempre ocorre para dizemos “estritamente crescente”. - Uma função
é constante num intervalo se, para quaisquer , vale .
Pelo preenchimento já dado paraentendemos que usaremos o código para “constante” e para “crescente”. Não há aqui indicação de função decrescente, então não precisamos desse código.
Passo 3
Função
(a função constante).
- Para qualquer
em qualquer intervalo, tem valor sempre igual a . Ou seja, se então , logo é constante em qualquer intervalo. - Portanto nas duas linhas que faltam (tanto
quanto ) a variação da função é .
Passo 4
Função
(a identidade).
- Se
então, claramente, implica nos valores de , isto é, . Assim é estritamente crescente em qualquer intervalo da reta. - Logo em
e em a variação da função é .
Passo 5
Função
.
- Somar a mesma constante a todos os valores de uma função não muda sua ordem entre pontos. Para quaisquer
temos . Portanto é tão crescente quanto . - Assim em
e em a variação da função é .
Passo 6
Função
na região considerada. Explicação cuidadosa e sem pular etapas.
- Queremos ver se
é crescente em intervalos que estão dentro de . Tome tais que . Calcule a diferença
Aqui
porque
, e
(na verdade
porque pelo menos um dos dois é positivo, exceto no caso
, mas já consideramos
). Como o produto de dois números não-negativos e com o primeiro estritamente positivo é estritamente positivo, temos
. Portanto
.
- Conclusão:
é estritamente crescente em todo intervalo contido em . Assim em e em a variação de é .
Passo 7
Agora já temos todas as entradas: para cada uma das duas linhas que faltavam, as variações nas quatro colunas
são, respectivamente,
.