Considere todas as retas que passam pelo ponto (1,1), qual possui a maior inclinação com relação ao eixo horizontal? Qual possui inclinação nula e qual possui a menor inclinação? Escreva as suas equações cartesianas.

Passo 1

O enunciado pede: “Considere todas as retas que passam pelo ponto (1,1).
(a) Qual possui a maior inclinação com relação ao eixo horizontal?
(b) Qual possui inclinação nula?
(c) Qual possui a menor inclinação?
Informação dada: o único dado numérico é o ponto pelo qual todas as retas passam, isto é (1,1).”

Passo 2

Vamos fixar uma representação organizada de todas as retas que passam por (1,1).
  • Definição prática de declive (inclinação): para uma reta não vertical que passa por dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) o declive (ou coeficiente angular) é a razão “subida sobre corrida”
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui m é um número real que mede a inclinação: quanto maior m, mais inclinada para cima a reta é; quanto menor m (mais negativo), mais inclinada para baixo.
  • Família das retas que passam por (1,1): toda reta não vertical pode ser escrita na forma ponto-declive
y-1 = m(x-1),
onde m\in\mathbb{R} é o declive. A reta vertical que também passa por (1,1) não cabe nessa forma (pois seu declive é indefinido); ela é a reta
x=1.

Passo 3

Identificar a reta de inclinação nula.
  • “Inclinação nula” significa m=0. Substituindo m=0 na fórmula ponto-declive:
y-1 = 0\cdot(x-1)\quad\Longrightarrow\quad y=1.
Interpretação: \,y=1 é a reta horizontal que passa por (1,1). Essa reta forma ângulo 0^\circ com o eixo horizontal, por isso tem inclinação nula.

Passo 4

Identificar a reta de “maior inclinação” interpretando inclinação como o ângulo com o eixo horizontal.
  • Relação entre declive e ângulo: se uma reta forma ângulo \theta com o eixo x (medido no sentido anti-horário) então o declive satisfaz
m=\tan\theta.
Para retas não verticais \theta\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). O maior ângulo possível com o eixo horizontal (em valor absoluto dentro do intervalo acima) é \theta=\tfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ), que corresponde à reta vertical. Essa reta vertical não tem declive finito (diz-se declive indefinido ou infinito), e sua equação é
x=1.
Conclui-se: a reta que faz o maior ângulo possível com o eixo horizontal é a reta vertical x=1 (ângulo 90^\circ).

Passo 5

Identificar “menor inclinação” e discutir existência de mínimo/infimo.
  • Se por “menor inclinação” o enunciado quer o menor valor numérico de m (o menor declive), observe que os declives das retas não-verticais que passam por (1,1) percorrem todo o conjunto \mathbb{R} (basta escolher m arbitrariamente). Logo não existe um mínimo real: para qualquer declive negativo dado é possível escolher um declive ainda mais negativo. Em termos formais:
    • O conjunto de declives tem supremo +\infty e ínfimo -\infty.
    • Não existe reta com “menor” declive atingido (não há mínimo), pois pode-se tomar, por exemplo, m=-100,\,-1000,\,-10^6,\dots para obter declives cada vez mais negativos.
  • Observação sobre interpretação alternativa: se “inclinação” for o ângulo \theta medido em [0,\pi), o menor ângulo (não-negativo) seria 0 correspondente à reta horizontal y=1, e o maior seria \tfrac{\pi}{2} correspondente à reta vertical x=1. Por isso é importante distinguir "declive numérico m" de "ângulo \theta". Aqui cobrimos ambas as interpretações: numericamente não há mínimo; em termos de ângulo a mínima (não-negativa) é 0^\circ e a máxima é 90^\circ.

Passo 6

Exemplos numéricos para fixar a intuição (úteis para a prova).
  • Reta horizontal: m=0 \;y=1.
  • Reta com grande declive positivo: m=10 \;y-1=10(x-1), que sobe muito.
  • Reta com grande declive negativo: m=-10 \;y-1=-10(x-1), que desce muito.
  • Reta vertical (declive indefinido): \;x=1.
    Esses exemplos mostram que os valores de m percorrem todos os reais e que a reta vertical é o limite quando |m|\to\infty.

Resposta

Maior inclinação (máximo ângulo com o eixo horizontal): x=1.
Inclinação nula: y=1.
Menor inclinação: não existe (os declives m percorrem todo \mathbb{R}, logo não há mínimo; o ínfimo é -\infty).

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