Considere todas as retas que passam pelo ponto
, qual possui a maior inclinação com relação ao eixo horizontal? Qual possui inclinação nula e qual possui a menor inclinação? Escreva as suas equações cartesianas.
Passo 1
O enunciado pede: “Considere todas as retas que passam pelo ponto
.
(a) Qual possui a maior inclinação com relação ao eixo horizontal?
(b) Qual possui inclinação nula?
(c) Qual possui a menor inclinação?
Informação dada: o único dado numérico é o ponto pelo qual todas as retas passam, isto é .”
(a) Qual possui a maior inclinação com relação ao eixo horizontal?
(b) Qual possui inclinação nula?
(c) Qual possui a menor inclinação?
Informação dada: o único dado numérico é o ponto pelo qual todas as retas passam, isto é
Passo 2
Vamos fixar uma representação organizada de todas as retas que passam por
.
- Definição prática de declive (inclinação): para uma reta não vertical que passa por dois pontos
e o declive (ou coeficiente angular) é a razão “subida sobre corrida”
Aqui
é um número real que mede a inclinação: quanto maior
, mais inclinada para cima a reta é; quanto menor
(mais negativo), mais inclinada para baixo.
- Família das retas que passam por
: toda reta não vertical pode ser escrita na forma ponto-declive
onde
é o declive. A reta vertical que também passa por
não cabe nessa forma (pois seu declive é indefinido); ela é a reta
Passo 3
Identificar a reta de inclinação nula.
- “Inclinação nula” significa
. Substituindo na fórmula ponto-declive:
Interpretação:
é a reta horizontal que passa por
. Essa reta forma ângulo
com o eixo horizontal, por isso tem inclinação nula.
Passo 4
Identificar a reta de “maior inclinação” interpretando inclinação como o ângulo com o eixo horizontal.
- Relação entre declive e ângulo: se uma reta forma ângulo
com o eixo (medido no sentido anti-horário) então o declive satisfaz
Para retas não verticais
. O maior ângulo possível com o eixo horizontal (em valor absoluto dentro do intervalo acima) é
(ou
), que corresponde à reta vertical. Essa reta vertical não tem declive finito (diz-se declive indefinido ou infinito), e sua equação é
Conclui-se: a reta que faz o maior ângulo possível com o eixo horizontal é a reta vertical
(ângulo
).
Passo 5
Identificar “menor inclinação” e discutir existência de mínimo/infimo.
- Se por “menor inclinação” o enunciado quer o menor valor numérico de
(o menor declive), observe que os declives das retas não-verticais que passam por percorrem todo o conjunto (basta escolher arbitrariamente). Logo não existe um mínimo real: para qualquer declive negativo dado é possível escolher um declive ainda mais negativo. Em termos formais: - O conjunto de declives tem supremo
e ínfimo . - Não existe reta com “menor” declive atingido (não há mínimo), pois pode-se tomar, por exemplo,
para obter declives cada vez mais negativos.
- O conjunto de declives tem supremo
- Observação sobre interpretação alternativa: se “inclinação” for o ângulo
medido em , o menor ângulo (não-negativo) seria correspondente à reta horizontal , e o maior seria correspondente à reta vertical . Por isso é importante distinguir "declive numérico " de "ângulo ". Aqui cobrimos ambas as interpretações: numericamente não há mínimo; em termos de ângulo a mínima (não-negativa) é e a máxima é .
Passo 6
Exemplos numéricos para fixar a intuição (úteis para a prova).
- Reta horizontal:
dá . - Reta com grande declive positivo:
dá , que sobe muito. - Reta com grande declive negativo:
dá , que desce muito. - Reta vertical (declive indefinido):
.
Esses exemplos mostram que os valores depercorrem todos os reais e que a reta vertical é o limite quando .
Resposta
Maior inclinação (máximo ângulo com o eixo horizontal):
.
Inclinação nula: .
Menor inclinação: não existe (os declives percorrem todo
, logo não há mínimo; o ínfimo é
).
Inclinação nula:
Menor inclinação: não existe (os declives