Considere uma quantidade x e outras y e z tais que 3 x-2 y=0 e 5 x-4 z=0. Quem varia mais rapidamente com x ? y ou z ?

Passo 1

O enunciado dá duas relações lineares entre x, y e z:
3x-2y=0
5x-4z=0
A pergunta é: quem varia mais rapidamente com x, y ou z? Ou seja, ao mudar x, qual das duas variáveis responde com maior variação por unidade de mudança em x.

Passo 2

Isolar y em função de x. Isso transforma a equação num vínculo explícito que mostra como y depende de x.
3x-2y=0 \quad\Rightarrow\quad 2y=3x \quad\Rightarrow\quad y=\frac{3}{2}x.
Explicação didática: escrever y como y=\dfrac{3}{2}x diz que y é proporcional a x com fator de proporcionalidade \dfrac{3}{2}. Esse fator indica quantas unidades y muda quando x muda uma unidade.

Passo 3

Interpretar a taxa de variação de y. Para uma relação linear y=kx, a taxa de variação de y em relação a x é o coeficiente k (também pode ser visto como derivada \dfrac{dy}{dx} quando y é função de x).
Aqui
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}=1{,}5.
Significado prático: se x aumenta em 1, então y aumenta em 1{,}5. Se x aumenta em 2, y aumenta em 3, etc.

Passo 4

Isolar z em função de x.
5x-4z=0 \quad\Rightarrow\quad 4z=5x \quad\Rightarrow\quad z=\frac{5}{4}x.
Aqui também z é proporcional a x com fator \dfrac{5}{4}.

Passo 5

Interpretar a taxa de variação de z. Para z=\dfrac{5}{4}x,
\frac{dz}{dx}=\frac{5}{4}=1{,}25.
Significado prático: se x aumenta em 1, então z aumenta em 1{,}25.

Passo 6

Comparar as taxas \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{2}=1{,}5 e \dfrac{dz}{dx}=\dfrac{5}{4}=1{,}25.
\frac{3}{2}-\frac{5}{4}=\frac{6-5}{4}=\frac{1}{4}=0{,}25>0.
Como \dfrac{3}{2}>\dfrac{5}{4}, y cresce mais por cada unidade que x cresce, ou seja, y varia mais rapidamente com x do que z.

Resposta

y

Exercícios relacionados