Calcule a taxa de crescimento de cada função no intervalo indicado:
\left[\frac{1}{2}, 1\right] \left[\frac{2}{3}, 1\right] \left[\frac{3}{4}, 1\right] \left[\frac{4}{5}, 1\right]
x
x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a “taxa de crescimento” de cada função nos intervalos indicados. Vamos listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Funções dadas:
    • f(x)=x.
    • g(x)=x^{2}.
  • Intervalos onde calcular a taxa de crescimento (cada intervalo é do tipo [a,1]):
    • \left[\tfrac{1}{2},1\right],
    • \left[\tfrac{2}{3},1\right],
    • \left[\tfrac{3}{4},1\right],
    • \left[\tfrac{4}{5},1\right].
  • O que se pede: para cada função e para cada intervalo, calcular a taxa de crescimento no intervalo indicado.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (a “aula rápida”): a taxa média de crescimento de uma função h no intervalo [a,b] é o quociente entre a variação da função e a variação da variável. Em símbolos:
\text{taxa média}=\frac{h(b)-h(a)}{b-a}.é
Explicando cada símbolo:
  • h é a função cujo crescimento estamos medindo;
  • a é o ponto inicial do intervalo;
  • b é o ponto final do intervalo;
  • h(b)-h(a) é quanto a função mudou entre a e b;
  • b-a é o comprimento do intervalo (quanto a variável x mudou);
  • o quociente dá a mudança média por unidade de x.
No nosso caso sempre temos b=1, então a fórmula fica
\text{taxa média no intervalo }[a,1]=\frac{h(1)-h(a)}{1-a}.é

Passo 3

Aplicação à função f(x)=x.
Calculemos a taxa média usando a fórmula com h(x)=x:
\frac{f(1)-f(a)}{1-a}=\frac{1-a}{1-a}.
Aqui f(1)=1 e f(a)=a. Como o numerador e o denominador são iguais (desde que a\neq1, o que é verdade nos intervalos dados), simplificamos:
\frac{1-a}{1-a}=1.
Conclusão: para qualquer intervalo [a,1] com a<1, a taxa média de f(x)=x é 1. (Intuição: reta de inclinação 1.)

Passo 4

Aplicação à função g(x)=x^{2}.
Usando a fórmula com h(x)=x^{2}:
\frac{g(1)-g(a)}{1-a}=\frac{1-a^{2}}{1-a}.
Agora fazemos a fatoração do numerador para simplificar:
1-a^{2}=(1-a)(1+a).
Substituindo:
\frac{1-a^{2}}{1-a}=\frac{(1-a)(1+a)}{1-a}=1+a,
novamente para a\neq1. Portanto a taxa média de g(x)=x^{2} no intervalo [a,1] é 1+a.

Passo 5

Agora substituímos os valores de a dos intervalos pedidos para obter as taxas numéricas.
Para f(x)=x já vimos que a taxa é 1 em todos os intervalos.
Para g(x)=x^{2} a taxa é 1+a. Substituindo:
  • Para a=\tfrac{1}{2}: 1+a=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}=1{,}5.
  • Para a=\tfrac{2}{3}: 1+a=1+\tfrac{2}{3}=\tfrac{5}{3}\approx1{,}666\ldots
  • Para a=\tfrac{3}{4}: 1+a=1+\tfrac{3}{4}=\tfrac{7}{4}=1{,}75.
  • Para a=\tfrac{4}{5}: 1+a=1+\tfrac{4}{5}=\tfrac{9}{5}=1{,}8.
Observação intuitiva: a taxa média de x^{2} no intervalo [a,1] cresce quando a aumenta, porque 1+a aumenta com a. Isso reflete que x^{2} fica mais inclinada conforme nos aproximamos de 1.

Resposta

Para f(x)=x: 1,\;1,\;1,\;1
Para f(x)=x^{2}: \tfrac{3}{2},\;\tfrac{5}{3},\;\tfrac{7}{4},\;\tfrac{9}{5}

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