Calcule a taxa de crescimento de cada função no intervalo indicado:
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Passo 1
O enunciado pede a “taxa de crescimento” de cada função nos intervalos indicados. Vamos listar claramente o que foi dado e o que se pede.
- Funções dadas:
-
. -
.
-
- Intervalos onde calcular a taxa de crescimento (cada intervalo é do tipo
): -
, -
, -
, -
.
-
- O que se pede: para cada função e para cada intervalo, calcular a taxa de crescimento no intervalo indicado.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (a “aula rápida”): a taxa média de crescimento de uma função
no intervalo
é o quociente entre a variação da função e a variação da variável. Em símbolos:
Explicando cada símbolo:
-
é a função cujo crescimento estamos medindo; -
é o ponto inicial do intervalo; -
é o ponto final do intervalo; -
é quanto a função mudou entre e ; -
é o comprimento do intervalo (quanto a variável mudou); - o quociente dá a mudança média por unidade de
.
No nosso caso sempre temos
, então a fórmula fica
Passo 3
Aplicação à função
.
Calculemos a taxa média usando a fórmula com
:
Aqui
e
. Como o numerador e o denominador são iguais (desde que
, o que é verdade nos intervalos dados), simplificamos:
Conclusão: para qualquer intervalo
com
, a taxa média de
é
. (Intuição: reta de inclinação
.)
Passo 4
Aplicação à função
.
Usando a fórmula com
:
Agora fazemos a fatoração do numerador para simplificar:
Substituindo:
novamente para
. Portanto a taxa média de
no intervalo
é
.
Passo 5
Agora substituímos os valores de
dos intervalos pedidos para obter as taxas numéricas.
Para
já vimos que a taxa é
em todos os intervalos.
Para
a taxa é
. Substituindo:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Observação intuitiva: a taxa média de
no intervalo
cresce quando
aumenta, porque
aumenta com
. Isso reflete que
fica mais inclinada conforme nos aproximamos de
.
Resposta
Para
:
Para
: