Complete a tabela (com aproximação de pelo menos 4 casas decimais) e utilize esses resultados para estimar o valor do limite da função quando x tende a a ou explicar por que ele não existe.
a=1.
x 0,9 0,99 0,999 0,9999
\frac{x-1}{x^{2}-1}
x 1,1 1,01 1,001 1,0001
\frac{x-1}{x^{2}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados ele dá:
  • Pede-se completar duas pequenas tabelas calculando os valores da função
\frac{x-1}{x^{2}-1}
nos pontos indicados e, a partir desses resultados, estimar o valor do limite da função quando x tende a a com a=1.
  • Valores de x fornecidos (pegos do enunciado):
    • Primeira tabela (à esquerda): x=0,9,\;0,99,\;0,999,\;0,9999.
    • Segunda tabela (à direita): x=1,1,\;1,01,\;1,001,\;1,0001.
  • O enunciado não pede que a função seja avaliada exatamente em x=1 (ali o denominador é zero), apenas que completemos a tabela e estimemos o limite quando x\to1.

Passo 2

Simplificação algébrica útil (aqui vem a ferramenta principal que facilita os cálculos):
  • Observe a diferença de quadrados no denominador:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
  • Para x\neq 1 (e também x\neq -1), podemos cancelar o fator x-1 no numerador com o mesmo fator no denominador, obtendo
\frac{x-1}{x^{2}-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}.
  • Portanto, para qualquer x diferente de 1 e -1,
\frac{x-1}{x^{2}-1}=\frac{1}{x+1}.
Isto simplifica muito a avaliação numérica: basta calcular x+1 e tomar o inverso.
  • Observação importante (conceito de limite): mesmo que a função original não esteja definida em x=1 (pois o denominador zera), o limite quando x\to1 pode existir. Se a forma simplificada \dfrac{1}{x+1} tiver limite quando x\to1, esse é o limite da função original (para x\neq1).

Passo 3

Como calcular numericamente e arredondar (regra de arredondamento usada): vamos produzir resultados com pelo menos 4 casas decimais; para isso calculo alguns dígitos extras e aplico o arredondamento usual (se o quinto dígito após a vírgula for \ge 5, aumento a quarta casa em 1; caso contrário mantenho).
Agora calculo cada valor usando \dfrac{1}{x+1}.
  • Para x=0,9:
    x+1=0,9+1=1,9,\qquad \frac{1}{x+1}=\frac{1}{1,9}\approx 0,526315789\ldots
    Arredondando para 4 casas decimais: 0,5263.
  • Para x=0,99:
    x+1=0,99+1=1,99,\qquad \frac{1}{1,99}\approx 0,5025125628\ldots
    Arredondando para 4 casas decimais: 0,5025.
  • Para x=0,999:
    x+1=1,999,\qquad \frac{1}{1,999}\approx 0,50025012506\ldots
    Os dígitos relevantes são 0,50025\ldots; o quinto dígito (após a vírgula) é 5, então a quarta casa 2 sobe para 3. Resultado com 4 casas: 0,5003.
  • Para x=0,9999:
    x+1=1,9999,\qquad \frac{1}{1,9999}\approx 0,50002500125\ldots
    Arredondando para 4 casas decimais: 0,5000 (o quinto dígito é 2, não altera a quarta casa).
  • Para x=1,1:
    x+1=2,1,\qquad \frac{1}{2,1}\approx 0,47619047619\ldots
    Arredondando para 4 casas decimais: 0,4762.
  • Para x=1,01:
    x+1=2,01,\qquad \frac{1}{2,01}\approx 0,49751243781\ldots
    Arredondando para 4 casas decimais: 0,4975.
  • Para x=1,001:
    x+1=2,001,\qquad \frac{1}{2,001}\approx 0,4997501249375\ldots
    Aqui os dígitos são 0,49975\ldots; o quinto dígito é 5, então a quarta casa 7 sobe para 8. Resultado: 0,4998.
  • Para x=1,0001:
    x+1=2,0001,\qquad \frac{1}{2,0001}\approx 0,49997500125\ldots
    Arredondando para 4 casas decimais: 0,5000 (o quinto dígito é 7, provoca arredondamento que faz o resultado virar 0,5000).

Passo 4

Interpretação dos resultados e conclusão sobre o limite:
  • Os valores obtidos aproximam-se de 0,5 quando x se aproxima de 1 tanto pela esquerda (valores ligeiramente maiores que 0,5: 0,5263,0,5025,0,5003,0,5000) quanto pela direita (valores ligeiramente menores ou muito próximos de 0,5: 0,4762,0,4975,0,4998,0,5000).
  • Pela simplificação algébrica, para x\neq1 vale \dfrac{x-1}{x^{2}-1}=\dfrac{1}{x+1}. A função \dfrac{1}{x+1} é contínua em x=1; portanto
\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\lim_{x\to1}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
  • Apesar de a expressão original não estar definida exatamente em x=1, o limite existe e é \dfrac{1}{2}. A tabela numérica confirma essa conclusão: as aproximações tendem para 0,5 por ambos os lados.

Resposta

x=0,9:\;0,5263\newline
x=0,99:\;0,5025\newline
x=0,999:\;0,5003\newline
x=0,9999:\;0,5000\newline
x=1,1:\;0,4762\newline
x=1,01:\;0,4975\newline
x=1,001:\;0,4998\newline
x=1,0001:\;0,5000\newline
\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}=0,5000

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