Complete a tabela (com aproximação de pelo menos 4 casas decimais) e utilize esses resultados para estimar o valor do limite da função quando
tende a
ou explicar por que ele não existe.
.
x
0,9
0,99
0,999
0,9999
x
1,1
1,01
1,001
1,0001
| x | 0,9 | 0,99 | 0,999 | 0,9999 |
|
|
| x | 1,1 | 1,01 | 1,001 | 1,0001 |
|
|
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados ele dá:
- Pede-se completar duas pequenas tabelas calculando os valores da função
nos pontos indicados e, a partir desses resultados, estimar o valor do limite da função quando
tende a
com
.
-
Valores de
fornecidos (pegos do enunciado): - Primeira tabela (à esquerda):
. - Segunda tabela (à direita):
.
- Primeira tabela (à esquerda):
-
O enunciado não pede que a função seja avaliada exatamente em
(ali o denominador é zero), apenas que completemos a tabela e estimemos o limite quando .
Passo 2
Simplificação algébrica útil (aqui vem a ferramenta principal que facilita os cálculos):
- Observe a diferença de quadrados no denominador:
- Para
(e também ), podemos cancelar o fator no numerador com o mesmo fator no denominador, obtendo
- Portanto, para qualquer
diferente de e ,
Isto simplifica muito a avaliação numérica: basta calcular
e tomar o inverso.
- Observação importante (conceito de limite): mesmo que a função original não esteja definida em
(pois o denominador zera), o limite quando pode existir. Se a forma simplificada tiver limite quando , esse é o limite da função original (para ).
Passo 3
Como calcular numericamente e arredondar (regra de arredondamento usada): vamos produzir resultados com pelo menos 4 casas decimais; para isso calculo alguns dígitos extras e aplico o arredondamento usual (se o quinto dígito após a vírgula for
, aumento a quarta casa em 1; caso contrário mantenho).
Agora calculo cada valor usando
.
-
Para
: Arredondando para 4 casas decimais:. -
Para
: Arredondando para 4 casas decimais:. -
Para
: Os dígitos relevantes são; o quinto dígito (após a vírgula) é , então a quarta casa sobe para . Resultado com 4 casas: . -
Para
: Arredondando para 4 casas decimais:(o quinto dígito é , não altera a quarta casa). -
Para
: Arredondando para 4 casas decimais:. -
Para
: Arredondando para 4 casas decimais:. -
Para
: Aqui os dígitos são; o quinto dígito é , então a quarta casa sobe para . Resultado: . -
Para
: Arredondando para 4 casas decimais:(o quinto dígito é , provoca arredondamento que faz o resultado virar ).
Passo 4
Interpretação dos resultados e conclusão sobre o limite:
-
Os valores obtidos aproximam-se de
quando se aproxima de tanto pela esquerda (valores ligeiramente maiores que : ) quanto pela direita (valores ligeiramente menores ou muito próximos de : ). -
Pela simplificação algébrica, para
vale . A função é contínua em ; portanto
- Apesar de a expressão original não estar definida exatamente em
, o limite existe e é . A tabela numérica confirma essa conclusão: as aproximações tendem para por ambos os lados.