Considere o limite lim _{x \rightarrow 1} \sqrt{x+3}=2.
(i) Admitindo 0<|x-1|<\delta \leq 1, mostre que: \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}<\frac{1}{\sqrt{3}+2}
(ii) Prove o limite acima usando a definição.

Passo 1

O enunciado dá o limite
\lim_{x\to1}\sqrt{x+3}=2.
Pede duas coisas:
(i) Admitindo 0<|x-1|<\delta\leq1, mostrar que
\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}<\frac{1}{\sqrt{3}+2}.
(ii) Provar o limite acima usando a definição \varepsilon- \delta.
Informações úteis extraídas da hipótese 0<|x-1|<\delta\leq1:
  • Se 0<|x-1|<1 então x\in(0,2).
  • Portanto x+3\in(3,5) e, em particular, \sqrt{x+3}\geq\sqrt{3}.
    Estas observações serão usadas para comparar denominadores positivos.

Passo 2

Demonstração de (i).
Da hipótese 0<|x-1|<\delta\leq1 concluímos x\geq0, logo x+3\geq3 e assim
\sqrt{x+3}\geq\sqrt{3}.
Somando 2 aos dois lados obtemos
\sqrt{x+3}+2\geq\sqrt{3}+2.
Como ambos os lados são estritamente positivos, ao tomar recíprocos a desigualdade inverte-se, então
\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3}+2}.
Além disso, para x\neq1 (que é assegurado por 0<|x-1|) temos \sqrt{x+3}+2>\sqrt{3}+2 não sendo ambos iguais ao mesmo tempo, portanto podemos escrever estritamente
\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}<\frac{1}{\sqrt{3}+2},
que é exatamente o que se pedia.

Passo 3

Preparação para (ii): escrever |\sqrt{x+3}-2| em função de |x-1| usando racionalização (truque do conjugado).
A identidade é a diferença de quadrados: para a=\sqrt{x+3} e b=2,
a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}.
Aplicando isso,
\sqrt{x+3}-2=\frac{(\sqrt{x+3})^2-2^2}{\sqrt{x+3}+2} =\frac{x+3-4}{\sqrt{x+3}+2} =\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}.
Tomando valor absoluto,
\left|\sqrt{x+3}-2\right|=\frac{|x-1|}{\sqrt{x+3}+2}.

Passo 4

Usar (i) para obter uma desigualdade simples que relaciona |\sqrt{x+3}-2| com |x-1|.
Pelo Passo 2 sabemos que, sob a hipótese 0<|x-1|<\delta\leq1,
\sqrt{x+3}+2\geq\sqrt{3}+2.
Logo, dividindo |x-1| por ambos os lados positivos,
\frac{|x-1|}{\sqrt{x+3}+2}\leq\frac{|x-1|}{\sqrt{3}+2}.
Juntando com a expressão do Passo 3,
\left|\sqrt{x+3}-2\right|\leq\frac{|x-1|}{\sqrt{3}+2}.

Passo 5

Construção do argumento \varepsilon- \delta completo para (ii).
Seja dado um \varepsilon>0. Queremos escolher \delta>0 tal que sempre que 0<|x-1|<\delta então |\sqrt{x+3}-2|<\varepsilon.
Pela desigualdade do Passo 4, uma condição suficiente é
\frac{|x-1|}{\sqrt{3}+2}<\varepsilon,
isto é,
|x-1|<(\sqrt{3}+2)\varepsilon.
Além disso devemos respeitar a hipótese usada em (i) de tomar \delta\leq1. Portanto escolhemos
\delta=\min\{1,\,(\sqrt{3}+2)\varepsilon\}.
Agora verificamos: se 0<|x-1|<\delta então, por construção, 0<|x-1|<1 e |x-1|<(\sqrt{3}+2)\varepsilon. Pelo Passo 4 segue
\left|\sqrt{x+3}-2\right|\leq\frac{|x-1|}{\sqrt{3}+2}<\frac{(\sqrt{3}+2)\varepsilon}{\sqrt{3}+2}=\varepsilon.
Isso mostra a propriedade \forall\varepsilon>0\\ \exists\delta>0 com a escolha acima, logo
\lim_{x\to1}\sqrt{x+3}=2.

Resposta

(i) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}<\frac{1}{\sqrt{3}+2}.
(ii) Para dado \varepsilon>0 escolha \displaystyle \delta=\min\{1,(\sqrt{3}+2)\varepsilon\}. Então, se 0<|x-1|<\delta, tem-se |\sqrt{x+3}-2|<\varepsilon; portanto \displaystyle \lim_{x\to1}\sqrt{x+3}=2.

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