Considere o limite lim _{x \rightarrow 1} \sqrt{x+3}=2.
(i) Admitindo 0<|x-1|<\delta \leq 1, mostre que: \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}<\frac{1}{\sqrt{3}+2}
(ii) Prove o limite acima usando a definição.
Passo 1
O enunciado dá o limite
\lim_{x\to1}\sqrt{x+3}=2.
Pede duas coisas:
(i) Admitindo 0<|x-1|<\delta\leq1, mostrar que
\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}<\frac{1}{\sqrt{3}+2}.
(ii) Provar o limite acima usando a definição \varepsilon-\delta.
Informações úteis extraídas da hipótese 0<|x-1|<\delta\leq1:
Se 0<|x-1|<1 então x\in(0,2).
Portanto x+3\in(3,5) e, em particular, \sqrt{x+3}\geq\sqrt{3}.
Estas observações serão usadas para comparar denominadores positivos.
Passo 2
Demonstração de (i).
Da hipótese 0<|x-1|<\delta\leq1 concluímos x\geq0, logo x+3\geq3 e assim
\sqrt{x+3}\geq\sqrt{3}.
Somando 2 aos dois lados obtemos
\sqrt{x+3}+2\geq\sqrt{3}+2.
Como ambos os lados são estritamente positivos, ao tomar recíprocos a desigualdade inverte-se, então
\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3}+2}.
Além disso, para x\neq1 (que é assegurado por 0<|x-1|) temos \sqrt{x+3}+2>\sqrt{3}+2 não sendo ambos iguais ao mesmo tempo, portanto podemos escrever estritamente
\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}<\frac{1}{\sqrt{3}+2},
que é exatamente o que se pedia.
Passo 3
Preparação para (ii): escrever |\sqrt{x+3}-2| em função de |x-1| usando racionalização (truque do conjugado).
A identidade é a diferença de quadrados: para a=\sqrt{x+3} e b=2,
(ii) Para dado \varepsilon>0 escolha \displaystyle \delta=\min\{1,(\sqrt{3}+2)\varepsilon\}. Então, se 0<|x-1|<\delta, tem-se |\sqrt{x+3}-2|<\varepsilon; portanto \displaystyle \lim_{x\to1}\sqrt{x+3}=2.