Admitindo
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede para mostrar que
Informações relevantes fornecidas:
- Há uma desigualdade estrita
, ou seja, e está a uma distância menor que de . - Sabemos também que
, portanto segue da hipótese.
O objetivo é usar essas informações para obter uma desigualdade sobreque implique .
Passo 2
Lembrando uma equivalência básica de valor absoluto: para qualquer número real
,
Aqui vou aplicar isso com
. Como da hipótese temos
(porque
), segue que
Passo 3
Agora isolo
na desigualdade do passo anterior somando
em todas as partes. Somar a mesma quantidade em cada membro preserva desigualdades. Assim
ou seja,
Passo 4
Adicionar
a cada membro da desigualdade do passo anterior dá (novamente somando a mesma quantidade em todos os lados)
portanto
Passo 5
Da desigualdade
concluímos que
é positivo e menor que
. Logo o valor absoluto de
é simplesmente
e satisfaz
Isso mostra o que se pedia.
Passo 6
(Apresento aqui um método alternativo, útil em provas por ser muito direto.) Usando a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer reais
e
vale
escolhe-se
e
(pois
). Então
Pela hipótese
, obtemos
Esse método chega à mesma conclusão de forma curta e funciona bem quando se quer uma estimação direta.