Admitindo 0<|x-3|<\delta \leq 1, mostre que |x+4|<8.

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
0<|x-3|<\delta\leq 1
e pede para mostrar que
|x+4|<8.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há uma desigualdade estrita 0<|x-3|<\delta, ou seja, x\neq 3 e x está a uma distância menor que \delta de 3.
  • Sabemos também que \delta\leq 1, portanto |x-3|<1 segue da hipótese.
    O objetivo é usar essas informações para obter uma desigualdade sobre x+4 que implique |x+4|<8.

Passo 2

Lembrando uma equivalência básica de valor absoluto: para qualquer número real y,
|y|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1<y<1.
Aqui vou aplicar isso com y=x-3. Como da hipótese temos |x-3|<1 (porque |x-3|<\delta\leq1), segue que
-1 < x-3 < 1.

Passo 3

Agora isolo x na desigualdade do passo anterior somando 3 em todas as partes. Somar a mesma quantidade em cada membro preserva desigualdades. Assim
-1 + 3 < x-3 + 3 < 1 + 3,
ou seja,
2 < x < 4.

Passo 4

Adicionar 4 a cada membro da desigualdade do passo anterior dá (novamente somando a mesma quantidade em todos os lados)
2 + 4 < x + 4 < 4 + 4,
portanto
6 < x + 4 < 8.

Passo 5

Da desigualdade 6 < x+4 < 8 concluímos que x+4 é positivo e menor que 8. Logo o valor absoluto de x+4 é simplesmente x+4 e satisfaz
|x+4| = x+4 < 8.
Isso mostra o que se pedia.

Passo 6

(Apresento aqui um método alternativo, útil em provas por ser muito direto.) Usando a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer reais a e b vale
|a+b| \le |a| + |b|,
escolhe-se a=x-3 e b=7 (pois x+4=(x-3)+7). Então
|x+4| = |(x-3)+7| \le |x-3| + |7| = |x-3| + 7.
Pela hipótese |x-3|<\delta\le 1, obtemos
|x+4| < 1 + 7 = 8.
Esse método chega à mesma conclusão de forma curta e funciona bem quando se quer uma estimação direta.

Resposta

|x+4|<8

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