Complete a tabela (com aproximação de pelo menos 4 casas decimais) e utilize esses resultados para estimar o valor do limite da função quando x tende a a ou explicar por que ele não existe.
a=0.
x -0,01 -0,001 -0,0001
\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}
x 0,01 0,001 0,0001
\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Foi dada a função cujo valor a avaliar é a razão \dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}.
  • O parâmetro pedido é a=0; ou seja, devemos estudar o comportamento da função quando x tende a 0.
  • Precisamos completar duas tabelas com os valores da função para x próximos de 0 (valores negativos e positivos fornecidos) com aproximação de pelo menos 4 casas decimais.
  • Usar esses resultados para estimar o limite \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1} ou explicar por que ele não existe.
Os x fornecidos são:
  • Negativos: x=-0,01,\\\ -0,001,\\\ -0,0001.
  • Positivos: x=0,01,\\\ 0,001,\\\ 0,0001.

Passo 2

Observação inicial importante (sem ainda calcular números): a expressão original tem denominador \sqrt{x+1}-1 que é zero em x=0, então a função não está definida em x=0 diretamente. Para estudar o limite quando x\to0 é útil simplificar a expressão para uma forma equivalente para x\neq0. Vou mostrar a simplificação algébrica que permite calcular os valores com precisão e entender o limite.

Passo 3

Simplificação algébrica pela racionalização do denominador (método clássico):
\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{x\bigl(\sqrt{x+1}+1\bigr)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}.
No denominador o produto é uma diferença de quadrados:
(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)= ( \sqrt{x+1} )^{2} - 1^{2} = x+1-1 = x.
Como isso vale para x\neq0, podemos cancelar o fator x numerador/denominador e obter, para x\neq0,
\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}=\sqrt{x+1}+1.
Explicando a ideia: multiplicar pelo conjugado é uma técnica para eliminar raízes no denominador; depois do cancelamento ficamos com uma expressão muito simples e contínua para x perto de 0. Portanto, para todos os x diferentes de zero, o valor da função coincide com \sqrt{1+x}+1. Isso já indica que, se \sqrt{1+x}+1 tende a um número quando x\to0, esse será o limite da função original.

Passo 4

Comentário didático curto sobre comportamento para x pequeno:
  • Pelo desenvolvimento em série (fórmula de Taylor de primeiro ordem), para |x| pequeno
\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+O(x^{2}),
logo
\sqrt{1+x}+1=2+\frac{x}{2}+O(x^{2}).
Isso mostra heurísticamente que, quando x\to0, a expressão tende para 2. Mas agora vamos preencher as tabelas com aproximações numéricas precisas usando a forma simplificada \sqrt{1+x}+1.

Passo 5

Cálculo numérico dos valores usando \dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}=\sqrt{1+x}+1. Para cada x calculo primeiro \sqrt{1+x} e depois acrescento 1. Apresento um valor com precisão alta e, em seguida, arredondado com 4 casas decimais (ou mais), conforme pedido.
Negativos:
  • Para x=-0{,}01:
    \sqrt{1+x}=\sqrt{0{,}99}\approx 0{,}9949874371, \qquad \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}=\sqrt{1+x}+1\approx 1{,}9949874371.
    Arredondando a 4 casas decimais: 1{,}9950.
  • Para x=-0{,}001:
    \sqrt{1+x}=\sqrt{0{,}999}\approx 0{,}9994998749, \qquad \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}\approx 1{,}9994998749.
    Arredondando a 4 casas decimais: 1{,}9995.
  • Para x=-0{,}0001:
    \sqrt{1+x}=\sqrt{0{,}9999}\approx 0{,}9999499987, \qquad \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}\approx 1{,}9999499987.
    Arredondando a 4 casas decimais: 1{,}9999.
Positivos:
  • Para x=0{,}01:
    \sqrt{1+x}=\sqrt{1{,}01}\approx 1{,}0049875621, \qquad \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}\approx 2{,}0049875621.
    Arredondando a 4 casas decimais: 2{,}0050.
  • Para x=0{,}001:
    \sqrt{1+x}=\sqrt{1{,}001}\approx 1{,}0004998751, \qquad \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}\approx 2{,}0004998751.
    Arredondando a 4 casas decimais: 2{,}0005.
  • Para x=0{,}0001:
    \sqrt{1+x}=\sqrt{1{,}0001}\approx 1{,}0000499988, \qquad \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}\approx 2{,}0000499988.
    Arredondando a 4 casas decimais: 2{,}0000.

Passo 6

Organizando os resultados nas duas tabelas (valores apresentados com pelo menos 4 casas decimais):
Tabela para x negativos:
  • x=-0{,}01\quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}\approx 1{,}9949874371\approx 1{,}9950.
  • x=-0{,}001\quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}\approx 1{,}9994998749\approx 1{,}9995.
  • x=-0{,}0001\quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}\approx 1{,}9999499987\approx 1{,}9999.
Tabela para x positivos:
  • x=0{,}01\quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}\approx 2{,}0049875621\approx 2{,}0050.
  • x=0{,}001\quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}\approx 2{,}0004998751\approx 2{,}0005.
  • x=0{,}0001\quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{\sqrt{x+1}-1}\approx 2{,}0000499988\approx 2{,}0000.
Observação sobre os números: os valores à esquerda (quando x<0) estão um pouco abaixo de 2 e os valores à direita (quando x>0) estão um pouco acima de 2; conforme x fica mais perto de 0, todos os valores se aproximam de 2.

Passo 7

Conclusão e interpretação final: a simplificação algébrica mostrou que, para x\neq0,
\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}=\sqrt{1+x}+1,
e a função \sqrt{1+x}+1 é contínua em x=0. Portanto o limite quando x\to0 é simplesmente o valor em x=0 dessa expressão contínua:
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}=\sqrt{1+0}+1=1+1=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados