Complete a tabela (com aproximação de pelo menos 4 casas decimais) e utilize esses resultados para estimar o valor do limite da função quando
tende a
ou explicar por que ele não existe.
.
x
x
0,01
0,001
0,0001
| x |
|
|
|
|
|
| x | 0,01 | 0,001 | 0,0001 |
|
|
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Foi dada a função cujo valor a avaliar é a razão
. - O parâmetro pedido é
; ou seja, devemos estudar o comportamento da função quando tende a . - Precisamos completar duas tabelas com os valores da função para
próximos de (valores negativos e positivos fornecidos) com aproximação de pelo menos 4 casas decimais. - Usar esses resultados para estimar o limite
ou explicar por que ele não existe.
Os
fornecidos são:
- Negativos:
. - Positivos:
.
Passo 2
Observação inicial importante (sem ainda calcular números): a expressão original tem denominador
que é zero em
, então a função não está definida em
diretamente. Para estudar o limite quando
é útil simplificar a expressão para uma forma equivalente para
. Vou mostrar a simplificação algébrica que permite calcular os valores com precisão e entender o limite.
Passo 3
Simplificação algébrica pela racionalização do denominador (método clássico):
No denominador o produto é uma diferença de quadrados:
Como isso vale para
, podemos cancelar o fator
numerador/denominador e obter, para
,
Explicando a ideia: multiplicar pelo conjugado é uma técnica para eliminar raízes no denominador; depois do cancelamento ficamos com uma expressão muito simples e contínua para
perto de
. Portanto, para todos os
diferentes de zero, o valor da função coincide com
. Isso já indica que, se
tende a um número quando
, esse será o limite da função original.
Passo 4
Comentário didático curto sobre comportamento para
pequeno:
- Pelo desenvolvimento em série (fórmula de Taylor de primeiro ordem), para
pequeno
logo
Isso mostra heurísticamente que, quando
, a expressão tende para
. Mas agora vamos preencher as tabelas com aproximações numéricas precisas usando a forma simplificada
.
Passo 5
Cálculo numérico dos valores usando
. Para cada
calculo primeiro
e depois acrescento
. Apresento um valor com precisão alta e, em seguida, arredondado com 4 casas decimais (ou mais), conforme pedido.
Negativos:
-
Para
: Arredondando a 4 casas decimais:. -
Para
: Arredondando a 4 casas decimais:. -
Para
: Arredondando a 4 casas decimais:.
Positivos:
-
Para
: Arredondando a 4 casas decimais:. -
Para
: Arredondando a 4 casas decimais:. -
Para
: Arredondando a 4 casas decimais:.
Passo 6
Organizando os resultados nas duas tabelas (valores apresentados com pelo menos 4 casas decimais):
Tabela para
negativos:
-
. -
. -
.
Tabela para
positivos:
-
. -
. -
.
Observação sobre os números: os valores à esquerda (quando
) estão um pouco abaixo de
e os valores à direita (quando
) estão um pouco acima de
; conforme
fica mais perto de
, todos os valores se aproximam de
.
Passo 7
Conclusão e interpretação final: a simplificação algébrica mostrou que, para
,
e a função
é contínua em
. Portanto o limite quando
é simplesmente o valor em
dessa expressão contínua: