Complete a tabela de distribuição de frequência para alturas de alunos:
Altura (\mathrm{cm}) PM f fr F f \cdot P M
150 \vdash 160 6
160 \vdash 170 10
170 \vdash 180 15
180 \vdash 190 5
Total
(a) Complete todas as colunas da tabela.
(b) Calcule a altura média.
(c) Qual a porcentagem de alunos com altura entre 160 e 180 cm ?
(d) Quantos alunos têm altura inferior a 170 cm ?

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de alturas em classes com as frequências absolutas f. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
  • Classes e frequências dadas:
    • 150 \vdash 160:\; f=6
    • 160 \vdash 170:\; f=10
    • 170 \vdash 180:\; f=15
    • 180 \vdash 190:\; f=5
  • O que o enunciado pede:
    (a) completar todas as colunas da tabela: PM (ponto médio de cada classe), f (já dada), fr (frequência relativa), F (frequência acumulada) e f\cdot PM;
    (b) calcular a altura média (média amostral para dados agrupados);
    (c) porcentagem de alunos com altura entre 160 e 180\\ \text{cm};
    (d) quantos alunos têm altura inferior a 170\\ \text{cm}.

Passo 2

Calcular os pontos médios (PM) das classes. Explico: o ponto médio de uma classe é a média aritmética dos limites inferior e superior da classe; para uma classe com limites a e b,
\text{PM}=\frac{a+b}{2}.
Aplicando:
  • Para 150 \vdash 160: \text{PM}=\dfrac{150+160}{2}=\dfrac{310}{2}=155.
  • Para 160 \vdash 170: \text{PM}=\dfrac{160+170}{2}=\dfrac{330}{2}=165.
  • Para 170 \vdash 180: \text{PM}=\dfrac{170+180}{2}=\dfrac{350}{2}=175.
  • Para 180 \vdash 190: \text{PM}=\dfrac{180+190}{2}=\dfrac{370}{2}=185.

Passo 3

Calcular o total de observações n (soma das frequências absolutas). Isso é necessário para as frequências relativas e para a média.
n=\sum f = 6+10+15+5 = 36.

Passo 4

Calcular as frequências relativas fr. Explico: a frequência relativa de uma classe é fr_i=\dfrac{f_i}{n}. Vou apresentar com quatro casas decimais (vírgula decimal).
  • fr_{150\vdash160}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\approx 0,1667.
  • fr_{160\vdash170}=\dfrac{10}{36}\approx 0,2778.
  • fr_{170\vdash180}=\dfrac{15}{36}\approx 0,4167.
  • fr_{180\vdash190}=\dfrac{5}{36}\approx 0,1389.
    Verificação rápida: 0,1667+0,2778+0,4167+0,1389\approx 1,0001 (arredondamentos geram pequena diferença; teoricamente soma =1).

Passo 5

Calcular as frequências acumuladas F. Explico: a frequência acumulada até uma classe é a soma das frequências das classes até ela.
  • Para a primeira classe 150\vdash160:\; F=6.
  • Segunda 160\vdash170:\; F=6+10=16.
  • Terceira 170\vdash180:\; F=16+15=31.
  • Quarta 180\vdash190:\; F=31+5=36 (confere com n).

Passo 6

Calcular f\cdot \text{PM} para cada linha (produto da frequência pelo ponto médio). Isso será usado para a média.
  • Para 150\vdash160:\; 6\cdot155 = 930.
  • Para 160\vdash170:\; 10\cdot165 = 1650.
  • Para 170\vdash180:\; 15\cdot175 = 2625.
  • Para 180\vdash190:\; 5\cdot185 = 925.
    Somando esses produtos:
\sum f\cdot \text{PM} = 930+1650+2625+925 = 6130.

Passo 7

Calcular a altura média. Explico a fórmula: para dados agrupados a média amostral é
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i},
onde x_i é o ponto médio da classe i, f_i a frequência e \sum f_i=n.
Aqui,
\bar{x}=\frac{6130}{36}.
Podemos deixar como fração ou calcular aproximação decimal:
\bar{x}=\frac{6130}{36}=\frac{3065}{18}\approx 170,2777\ldots
Arredondando para duas casas decimais (prática comum ao reportar médias de alturas): \bar{x}\approx 170,28\\ \text{cm}.

Passo 8

Calcular a porcentagem de alunos com altura entre 160 e 180\\ \text{cm}. Essa faixa corresponde às classes 160\vdash170 e 170\vdash180. Somo as frequências dessas classes e divido pelo total, depois multiplicar por 100\%.
\text{n}_{160-180}=10+15=25.
Porcentagem:
\frac{25}{36}\times100\%\approx 69,444\%\approx 69,44\%.

Passo 9

Determinar quantos alunos têm altura inferior a 170\\ \text{cm}. Isso corresponde às classes estritamente abaixo de 170: 150\vdash160 e 160\vdash170. Soma das frequências:
6+10=16\\ \text{alunos}.

Resposta

(a) Tabela completa:\n 150\vdash160:\; \text{PM}=155,\; f=6,\; fr=0,1667,\; F=6,\; f\cdot\text{PM}=930\n 160\vdash170:\; \text{PM}=165,\; f=10,\; fr=0,2778,\; F=16,\; f\cdot\text{PM}=1650\n 170\vdash180:\; \text{PM}=175,\; f=15,\; fr=0,4167,\; F=31,\; f\cdot\text{PM}=2625\n 180\vdash190:\; \text{PM}=185,\; f=5,\; fr=0,1389,\; F=36,\; f\cdot\text{PM}=925\n(b) \bar{x}=\dfrac{6130}{36}=\dfrac{3065}{18}\approx 170,28\\ \text{cm}\n(c) \approx 69,44\%\n(d) 16 alunos

Exercícios relacionados