Para a distribuição:
Classes Frequência
0 \vdash 5 2
5 \vdash 10 4
10 \vdash 15 7
15 \vdash 20 3
Calcule:
Variância.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela de classes com suas frequências e pede para calcular a variância. Vou listar claramente os dados que temos (peguei-os do enunciado):
  • Classes e frequências:
    • Classe 0 \vdash 5: frequência f_1=2.
    • Classe 5 \vdash 10: frequência f_2=4.
    • Classe 10 \vdash 15: frequência f_3=7.
    • Classe 15 \vdash 20: frequência f_4=3.
  • O que se pede: calcular a variância da distribuição.

Passo 2

Decisão do método (explicando por que): como os dados estão em classes, o método padrão é aproximar cada classe por seu ponto médio e usar a fórmula da variância para dados agrupados, interpretando a tabela como a população inteira de observações. A fórmula que vou usar é a da variância populacional para dados agrupados:
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i} f_{i}\,(x_{i}-\bar{x})^{2},
onde:
  • f_{i} é a frequência da i-ésima classe,
  • x_{i} é o ponto médio da i-ésima classe,
  • N=\sum_{i} f_{i} é o total de observações,
  • \bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum_{i} f_{i}x_{i} é a média aritmética estimada.
Observação: se fosse solicitada a variância amostral s^{2}, usaríamos divisor N-1 em vez de N. Aqui escolhi o caso populacional (divisor N) porque o enunciado pede apenas “variância” e esse é o procedimento mais comum para tabelas de frequência quando não há indicação de amostra.

Passo 3

Calcular os pontos médios x_{i} de cada classe (peguei os limites das classes da tabela do enunciado):
  • Para 0 \vdash 5: x_{1}=\dfrac{0+5}{2}=2,5.
  • Para 5 \vdash 10: x_{2}=\dfrac{5+10}{2}=7,5.
  • Para 10 \vdash 15: x_{3}=\dfrac{10+15}{2}=12,5.
  • Para 15 \vdash 20: x_{4}=\dfrac{15+20}{2}=17,5.

Passo 4

Calcular o total de observações N (somando as frequências da tabela):
N=f_{1}+f_{2}+f_{3}+f_{4}=2+4+7+3=16.

Passo 5

Calcular a média \bar{x} usando \bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum f_{i}x_{i}.
Primeiro calcule f_{i}x_{i} para cada classe:
  • f_{1}x_{1}=2\cdot 2,5=5.
  • f_{2}x_{2}=4\cdot 7,5=30.
  • f_{3}x_{3}=7\cdot 12,5=87,5.
  • f_{4}x_{4}=3\cdot 17,5=52,5.
Somando:
\sum f_{i}x_{i}=5+30+87,5+52,5=175.
Agora a média:
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum f_{i}x_{i}=\frac{175}{16}=10,9375.

Passo 6

Calcular cada termo f_{i}(x_{i}-\bar{x})^{2}. Vou fazer passo a passo as diferenças, os quadrados e depois multiplicar pela frequência.
  1. Para i=1 ( x_{1}=2,5, f_{1}=2):
x_{1}-\bar{x}=2,5-10,9375=-8,4375,
(x_{1}-\bar{x})^{2}=(-8,4375)^{2}=71,19140625,
f_{1}(x_{1}-\bar{x})^{2}=2\cdot 71,19140625=142,3828125.
  1. Para i=2 ( x_{2}=7,5, f_{2}=4):
x_{2}-\bar{x}=7,5-10,9375=-3,4375,
(x_{2}-\bar{x})^{2}=(-3,4375)^{2}=11,81640625,
f_{2}(x_{2}-\bar{x})^{2}=4\cdot 11,81640625=47,265625.
  1. Para i=3 ( x_{3}=12,5, f_{3}=7):
x_{3}-\bar{x}=12,5-10,9375=1,5625,
(x_{3}-\bar{x})^{2}=(1,5625)^{2}=2,44140625,
f_{3}(x_{3}-\bar{x})^{2}=7\cdot 2,44140625=17,08984375.
  1. Para i=4 ( x_{4}=17,5, f_{4}=3):
x_{4}-\bar{x}=17,5-10,9375=6,5625,
(x_{4}-\bar{x})^{2}=(6,5625)^{2}=43,05078125,
f_{4}(x_{4}-\bar{x})^{2}=3\cdot 43,05078125=129,15234375.

Passo 7

Somar as contribuições e dividir por N para obter a variância:
\sum_{i} f_{i}(x_{i}-\bar{x})^{2}=142,3828125+47,265625+17,08984375+129,15234375=335,890625.
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i} f_{i}(x_{i}-\bar{x})^{2}=\frac{335,890625}{16}=20,9931640625.
Arredondando de forma prática (por exemplo, quatro casas decimais), a variância vale aproximadamente 20,9932.

Passo 8

Comentário final e incentivo: pronto — a variância está calculada passo a passo. Na prova, basta seguir exatamente essa sequência: achar pontos médios, calcular N, média \bar{x}, depois as contribuições f_{i}(x_{i}-\bar{x})^{2} e somar. Vai dar certo — respira fundo e aplica o procedimento com calma!

Resposta

\sigma^{2}=20,9931640625

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