Dez estudantes A, B, \ldots estāo numa classe. Se uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente, encontre a probabilidade de (i) A pertencer à comissāo, (ii) B pertencer à comissão, (iii) A e B pertencerem à comissāo, (iv) A ou B pertencer à comissāo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede 4 probabilidades.
  • 10 estudantes nomeados A, B, \ldots.
  • Uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente entre os 10, todas as tripletas igualmente prováveis.
    As perguntas são:
    (i) Qual a probabilidade de A pertencer à comissão?
    (ii) Qual a probabilidade de B pertencer à comissão?
    (iii) Qual a probabilidade de A e B pertencerem à comissão (ambos)?
    (iv) Qual a probabilidade de A ou B pertencer à comissão (pelo menos um deles)?

Passo 2

Primeiro calculemos o número total de comissões possíveis (todas igualmente prováveis). Isso é o número de maneiras de escolher 3 pessoas entre 10 sem ordem, ou seja a combinação
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.
Explicação rápida sobre combinações: \binom{n}{k} conta de quantas formas escolher k itens entre n quando a ordem não importa. A fórmula \dfrac{n!}{k!(n-k)!} vem de contar permutações e eliminar ordens internas.

Passo 3

(i) Probabilidade de A pertencer à comissão.
Se A está na comissão, os outros 2 membros são escolhidos entre os 9 restantes. O número de comissões que contêm A é
\binom{9}{2}= \frac{9\cdot8}{2\cdot1}=36.
Portanto a probabilidade é
P(A)=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}=0{,}3.
Intuição alternativa (simetria): como escolhemos 3 dentre 10 ao acaso, cada pessoa tem a mesma chance de ser escolhida, então a chance de uma pessoa fixa ser escolhida é \dfrac{3}{10}.

Passo 4

(ii) Probabilidade de B pertencer à comissão.
Por simetria a resposta é idêntica à de A. Contando diretamente, número de comissões com B é \binom{9}{2}=36, logo
P(B)=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}.

Passo 5

(iii) Probabilidade de A e B pertencerem à comissão (os dois juntos).
Se A e B já estão na comissão, falta escolher mais 1 entre os 8 restantes. O número de comissões contendo ambos é
\binom{8}{1}=8.
Assim
P(A\\ \text{e}\\ B)=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}\approx0{,}0667.
Método alternativo (probabilidade condicional): P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\,P(B\mid A). Temos P(A)=\dfrac{3}{10} e, se A já entrou, restam 2 vagas entre 9 pessoas, então P(B\mid A)=\dfrac{2}{9}. Multiplicando:
\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15},
que dá o mesmo resultado.

Passo 6

(iv) Probabilidade de A ou B pertencer à comissão (pelo menos um deles).
Usamos a fórmula de inclusão-exclusão:
P(A\\ \text{ou}\\ B)=P(A)+P(B)-P(A\\ \text{e}\\ B).
Substituindo os valores já obtidos:
P(A\\ \text{ou}\\ B)=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}-\frac{1}{15}.
Calculemos: \dfrac{3}{10}=\dfrac{9}{30}, então \dfrac{9}{30}+\dfrac{9}{30}=\dfrac{18}{30}. E \dfrac{1}{15}=\dfrac{2}{30}. Portanto
P(A\\ \text{ou}\\ B)=\frac{18}{30}-\frac{2}{30}=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}\approx0{,}5333.
Outra forma (complemento): a probabilidade de nenhum dos dois entrar é escolher 3 entre os 8 restantes, \binom{8}{3}=56, então P(\text{nenhum})=\dfrac{56}{120}=\dfrac{7}{15}. Assim P(\text{pelo menos um})=1-\dfrac{7}{15}=\dfrac{8}{15}, mesma resposta — bom chek.

Resposta

\dfrac{3}{10}
\dfrac{3}{10}
\dfrac{1}{15}
\dfrac{8}{15}

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