Dez estudantes
estāo numa classe. Se uma comissão de 3 é escolhida aleatoriamente, encontre a probabilidade de (i)
pertencer à comissāo, (ii)
pertencer à comissão, (iii)
e
pertencerem à comissāo, (iv)
ou
pertencer à comissāo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede 4 probabilidades.
- Há
estudantes nomeados . - Uma comissão de
é escolhida aleatoriamente entre os , todas as tripletas igualmente prováveis.
As perguntas são:
(i) Qual a probabilidade depertencer à comissão?
(ii) Qual a probabilidade depertencer à comissão?
(iii) Qual a probabilidade dee pertencerem à comissão (ambos)?
(iv) Qual a probabilidade deou pertencer à comissão (pelo menos um deles)?
Passo 2
Primeiro calculemos o número total de comissões possíveis (todas igualmente prováveis). Isso é o número de maneiras de escolher
pessoas entre
sem ordem, ou seja a combinação
Explicação rápida sobre combinações:
conta de quantas formas escolher
itens entre
quando a ordem não importa. A fórmula
vem de contar permutações e eliminar ordens internas.
Passo 3
(i) Probabilidade de
pertencer à comissão.
Se está na comissão, os outros
membros são escolhidos entre os
restantes. O número de comissões que contêm
é
Se
Portanto a probabilidade é
Intuição alternativa (simetria): como escolhemos
dentre
ao acaso, cada pessoa tem a mesma chance de ser escolhida, então a chance de uma pessoa fixa ser escolhida é
.
Passo 4
(ii) Probabilidade de
pertencer à comissão.
Por simetria a resposta é idêntica à de . Contando diretamente, número de comissões com
é
, logo
Por simetria a resposta é idêntica à de
Passo 5
(iii) Probabilidade de
e
pertencerem à comissão (os dois juntos).
Se e
já estão na comissão, falta escolher mais
entre os
restantes. O número de comissões contendo ambos é
Se
Assim
Método alternativo (probabilidade condicional):
. Temos
e, se
já entrou, restam
vagas entre
pessoas, então
. Multiplicando:
que dá o mesmo resultado.
Passo 6
(iv) Probabilidade de
ou
pertencer à comissão (pelo menos um deles).
Usamos a fórmula de inclusão-exclusão:
Usamos a fórmula de inclusão-exclusão:
Substituindo os valores já obtidos:
Calculemos:
, então
. E
. Portanto
Outra forma (complemento): a probabilidade de nenhum dos dois entrar é escolher
entre os
restantes,
, então
. Assim
, mesma resposta — bom chek.