Complete a tabela.
Logarithmic <br> form Exponential <br> form
\log _{8} 8=1
\log _{8} 64=2 8^{2 / 3}=4 <br> 8^{3}=512 <br> <br> <br> \log _{8}\left(\frac{1}{8}\right)=-1

Passo 1

O que o exercício pede: completar a tabela convertendo entre a forma logarítmica e a forma exponencial.
Informações dadas (peguei diretamente da tabela que você enviou):
\log_{8}8 = 1
\log_{8}64 = 2
8^{2/3} = 4
8^{3} = 512
\log_{8}\!\left(\tfrac{1}{8}\right) = -1

Passo 2

Regra básica (a fórmula que vamos usar o tempo todo): a definição de logaritmo é
\log_{b} a = c \quad\Longleftrightarrow\quad b^{c} = a.
Isso significa: "o logaritmo de a na base b é c" se, e somente se, "a base b elevada a c a". Vou sempre aplicar essa equivalência para passar de logaritmo para exponencial e vice-versa.

Passo 3

Converter \log_{8}8 = 1 para forma exponencial. Pela definição, se \log_{8}8 = 1 então
8^{1} = 8.
Explicação rápida: o expoente 1 significa “a própria base”, então 8^{1}=8. Esse é o preenchimento da célula correspondente.

Passo 4

Converter \log_{8}64 = 2 para forma exponencial. Pela definição,
8^{2} = 64.
Checagem numérica: 8^{2}=8\cdot 8=64. Portanto essa é a forma exponencial correta.

Passo 5

Converter 8^{2/3} = 4 para forma logarítmica. Usando a equivalência ao contrário, se 8^{2/3}=4 então
\log_{8}4 = \tfrac{2}{3}.
Explicando por que isso faz sentido: escrevendo 8 como potência de 2 temos 8=2^{3}. Então
8^{2/3}=(2^{3})^{2/3}=2^{3\cdot(2/3)}=2^{2}=4,
logo o expoente que transforma 8 em 4 é \tfrac{2}{3}.

Passo 6

Converter 8^{3}=512 para forma logarítmica. Pelo mesmo raciocínio,
\log_{8}512 = 3.
Checagem: 8^{2}=64 e 8^{3}=64\cdot 8=512, então o logaritmo de 512 na base 8 é 3.

Passo 7

Converter \log_{8}\!\left(\tfrac{1}{8}\right) = -1 para forma exponencial. Pela definição,
8^{-1} = \tfrac{1}{8}.
Explicação: expoente negativo indica recíproco; 8^{-1}=1/8. Assim completamos essa célula.

Resposta

8^{1}=8
8^{2}=64
\log_{8}4=\tfrac{2}{3}
\log_{8}512=3
8^{-1}=\tfrac{1}{8}

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