Complete com V(verdadeiro) ou F(falso), justificando sua resposta.
Se ger v1, v2, v3, v4=R^3 então quaisquer três vetores deste conjunto formam uma base do R^3.

Passo 1

O enunciado fala de um conjunto de quatro vetores v1,v2,v3,v4 que gera R^3 e pergunta se quaisquer três desses formam uma base de R^3. O conteúdo envolvido é Teoria de Espaços Vetoriais: geração, independência linear, bases e dimensão.

Passo 2

Lembrando que em um espaço vetorial de dimensão 3, qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente linearmente dependente. Como v1,v2,v3,v4 gera R^3, a dimensão do espaço gerado é 3, logo o conjunto de 4 vetores é dependente.

Passo 3

Para ser base de R^3, um triplo de vetores deve ser independente e gerar R^3. O fato de toda a quadrupulação gerar R^3 garante que existe algum triplo gerador (basta remover um vetor redundante), mas não garante que todo triplo seja independente.

Passo 4

Contraexemplo explícito: defina
v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1), v4=(0,1,1)
Claramente v1,v2,v3,v4 gera R^3. Mas o triplo
v2,v3,v4 tem relação de dependência
v4 - v2 - v3 = (0,1,1) - (0,1,0) - (0,0,1) = (0,0,0),
logo não é independente e, portanto, não forma base.

Passo 5

Como encontramos um triplo que não é base, a afirmação de que quaisquer três formam base é falsa.

Resposta

F (falso)

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