1. Mostre que se duas retas distintas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um mesmo plano, se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si. O conteúdo aqui é geometria euclidiana e vamos usar o postulado da unicidade da paralela: “por um ponto exterior a uma reta, passa exatamente uma reta paralela a ela”.

Passo 2

Sejam ell1, ell2 e ell3 retas num mesmo plano, e suponha que
ell1 paral<=l ell3 e ell2 paral<=l ell3
Queremos provar que ell1 paral<=l ell2.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que ell1 e ell2 não sejam paralelas. Então elas se intersectam em algum ponto P.

Passo 4

Como ell1paral<=lell3 e ell2paral<=lell3, ambas as retas ell1 e ell2 passam por P e são paralelas a ell3. Assim existiriam duas retas distintas paralelas a ell3 passando pelo mesmo ponto P, o que contradiz o postulado de Euclides (unicidade da paralela).

Passo 5

Da contradição, concluímos que ell1 e ell2 não podem se intersectar, logo
ell1 paral<=l ell2

Resposta

Fica demonstrado que, se duas retas distintas são paralelas a uma terceira, então elas também são paralelas entre si.

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