- Mostre que se duas retas distintas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um mesmo plano, se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si. O conteúdo aqui é geometria euclidiana e vamos usar o postulado da unicidade da paralela: “por um ponto exterior a uma reta, passa exatamente uma reta paralela a ela”.
Passo 2
Sejam
,
e
retas num mesmo plano, e suponha que
Queremos provar que
.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que
e
não sejam paralelas. Então elas se intersectam em algum ponto
.
Passo 4
Como
e
, ambas as retas
e
passam por
e são paralelas a
. Assim existiriam duas retas distintas paralelas a
passando pelo mesmo ponto
, o que contradiz o postulado de Euclides (unicidade da paralela).
Passo 5
Da contradição, concluímos que
e
não podem se intersectar, logo
Resposta
Fica demonstrado que, se duas retas distintas são paralelas a uma terceira, então elas também são paralelas entre si.