A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é m(t)=(t+2)^2 cdot(t+1)^2, sabendo que a multiplicidade algébrica do autovalor -1 é 5 e que A é uma matriz 8 times 8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as formas canônicas de Jordan, a menos da ordem dos blocos, de uma matriz complexa A de tamanho 8times8 cujo polinômio mínimo é
m(t) = (t+2)^2,(t+1)^2,
sabendo que a multiplicidade algébrica do autovalor -1 é 5. Vamos usar o fato de que a soma das multiplicidades algébricas deve ser 8 e que o expoente de cada fator no polinômio mínimo indica o tamanho do maior bloco de Jordan para cada autovalor.

Passo 2

Como a soma das multiplicidades algébricas dos autovalores -2 e -1 é 8 e a de -1 é 5, a de -2 é
8 - 5 = 3
O polinômio mínimo tem (t+2)^2, logo o maior bloco de Jordan para -2 tem tamanho 2. De modo semelhante, (t+1)^2 diz que o maior bloco para -1 tem tamanho 2.

Passo 3

Para o autovalor -2 (multiplicidade algébrica 3 e maior bloco de tamanho 2) os blocos de Jordan só podem ter tamanho 1 ou 2, e deve haver pelo menos um bloco de tamanho 2. A única partição de 3 com peças <=2 contendo um 2 é
2 + 1
Logo, a parte de -2 na forma de Jordan é sempre
J2(-2),oplus,J1(-2)

Passo 4

Para o autovalor -1 (multiplicidade algébrica 5 e maior bloco de tamanho 2) os blocos também só podem ter tamanho 1 ou 2, com pelo menos um bloco 2. As partições de 5 em peças <=2 que contêm pelo menos um 2 são
2 + 1 + 1 + 1 e 2 + 2 + 1
Isto gera duas possibilidades de combinação de blocos de Jordan para -1:
– um bloco 2 e três blocos 1, ou
– dois blocos 2 e um bloco 1.

Passo 5

Combinando as partes de -2 e de -1, obtemos exatamente duas formas canônicas de Jordan, a menos da ordem dos blocos, para a matriz A:
a) a parte de -2 é J2(-2)oplus J1(-2) e a de -1 é J2(-1)oplus J1(-1)oplus J1(-1)oplus J1(-1).
b) a parte de -2 é J2(-2)oplus J1(-2) e a de -1 é J2(-1)oplus J2(-1)oplus J1(-1).

Resposta

As duas formas canônicas de Jordan possíveis, a menos de permutar blocos, são
diagl(J2(-2),,J1(-2),,J2(-1),,J1(-1),,J1(-1),,J1(-1)r)
e
diagl(J2(-2),,J1(-2),,J2(-1),,J2(-1),,J1(-1)r)

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