A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas canônicas de Jordan para uma matriz complexa cujo polinômio mínimo é
, sabendo que a multiplicidade algébrica do autovalor -1 é 5 e que A é uma matriz
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as formas canônicas de Jordan, a menos da ordem dos blocos, de uma matriz complexa
de tamanho
cujo polinômio mínimo é
sabendo que a multiplicidade algébrica do autovalor
é
. Vamos usar o fato de que a soma das multiplicidades algébricas deve ser
e que o expoente de cada fator no polinômio mínimo indica o tamanho do maior bloco de Jordan para cada autovalor.
Passo 2
Como a soma das multiplicidades algébricas dos autovalores
e
é
e a de
é
, a de
é
O polinômio mínimo tem
, logo o maior bloco de Jordan para
tem tamanho
. De modo semelhante,
diz que o maior bloco para
tem tamanho
.
Passo 3
Para o autovalor
(multiplicidade algébrica
e maior bloco de tamanho
) os blocos de Jordan só podem ter tamanho
ou
, e deve haver pelo menos um bloco de tamanho
. A única partição de
com peças
contendo um
é
Logo, a parte de
na forma de Jordan é sempre
Passo 4
Para o autovalor
(multiplicidade algébrica
e maior bloco de tamanho
) os blocos também só podem ter tamanho
ou
, com pelo menos um bloco
. As partições de
em peças
que contêm pelo menos um
são
Isto gera duas possibilidades de combinação de blocos de Jordan para
:
– um bloco e três blocos
, ou
– dois blocos e um bloco
.
– um bloco
– dois blocos
Passo 5
Combinando as partes de
e de
, obtemos exatamente duas formas canônicas de Jordan, a menos da ordem dos blocos, para a matriz
:
a) a parte de é
e a de
é
.
b) a parte de é
e a de
é
.
a) a parte de
b) a parte de
Resposta
As duas formas canônicas de Jordan possíveis, a menos de permutar blocos, são
e