- Mostre que a proposição é verdadeira: “Se um plano e paralelo a duas retas concorrentes de outro plano, então esses planos são paralelos”.
Passo 1
O enunciado diz que temos um plano
e duas retas
e
que se encontram em um ponto
. As retas
e
pertencem a um outro plano
e satisfazem
e
.
Queremos mostrar que então e
são planos paralelos, ou seja,
.
Queremos mostrar que então
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
e
se intersectem. Então sua interseção é uma reta
Como
, não há ponto em comum entre
e
, logo
. Num plano, se duas retas não se encontram, elas são paralelas. Portanto
De modo análogo, de
segue
Passo 3
As três retas
,
e
estão todas contidas em
. Mas no mesmo plano
não pode existir uma reta
que seja paralela a duas retas
e
que, por hipótese, se cruzam em
. De fato, se
e
, então
e
seriam paralelas entre si (transitividade de paralelismo de retas no mesmo plano), contradizendo o fato de
e
se encontrarem em
.
Passo 4
Como a suposição de que
intersecta
leva a uma contradição, concluímos que não há interseção entre esses planos. Logo
Resposta
A proposição está demonstrada: se um plano é paralelo a duas retas concorrentes de outro plano, então esses planos são paralelos.