Complete com V(verdadeiro) ou F(falso), justificando sua resposta.
Todo conjunto gerador de um espaço vetorial V é uma base para V.

Passo 1

O enunciado afirma: “Todo conjunto gerador de um espaço vetorial V é uma base para V”. Aqui o conteúdo é teoria de espaços vetoriais, mais precisamente conceitos de conjunto gerador (spanning set) e base (spanning set + independência linear). Vamos precisar das definições dessas noções.

Passo 2

Definição de conjunto gerador: um subconjunto Gsubset V é gerador de V se todo vetor em V pode ser escrito como combinação linear de vetores de G.
Definição de base: um subconjunto Bsubset V é base de V se
  1. B gera V;
  2. B é linearmente independente.

Passo 3

A afirmação só verifica a condição de gerar V, mas ignora a necessidade de independência linear. Para ser base, além de gerar V um conjunto precisa ser livre de dependências lineares. Consequentemente, há conjuntos geradores que não são bases justamente por serem linearmente dependentes.

Passo 4

Contraexemplo em R^2: seja
G = ,e1,;e2,;e1+e2,
onde e1=(1,0) e e2=(0,1).
  • G gera R^2 porque e1 e e2 já geram R^2.
  • Porém G é linearmente dependente, pois
(e1+e2) - e1 - e2 = 0
Logo G não é base, embora seja gerador.

Resposta

F

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