Complete com V(verdadeiro) ou F(falso), justificando sua resposta.
Todo conjunto gerador de um espaço vetorial
é uma base para
.
Todo conjunto gerador de um espaço vetorial
Passo 1
O enunciado afirma: “Todo conjunto gerador de um espaço vetorial
é uma base para
”. Aqui o conteúdo é teoria de espaços vetoriais, mais precisamente conceitos de conjunto gerador (spanning set) e base (spanning set + independência linear). Vamos precisar das definições dessas noções.
Passo 2
Definição de conjunto gerador: um subconjunto
é gerador de
se todo vetor em
pode ser escrito como combinação linear de vetores de
.
Definição de base: um subconjunto é base de
se
Definição de base: um subconjunto
-
gera ; -
é linearmente independente.
Passo 3
A afirmação só verifica a condição de gerar
, mas ignora a necessidade de independência linear. Para ser base, além de gerar
um conjunto precisa ser livre de dependências lineares. Consequentemente, há conjuntos geradores que não são bases justamente por serem linearmente dependentes.
Passo 4
Contraexemplo em
: seja
onde
e
.
-
gera porque e já geram . - Porém
é linearmente dependente, pois
Logo
não é base, embora seja gerador.
Resposta
F