Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
sen(A)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
e pede sin(A). O conteúdo é cálculo funcional para matrizes, em particular a fórmula de Taylor para funções analíticas aplicada à parte nilpotente de A. Vamos usar que, para A=lambda I+N com N nilpotente,
f(A)=summ=0^k-1f^(m)(lambda)m!N^m,
onde N^k=0.

Passo 2

Escrevemos
A = I + N,
logo lambda=1 e
N = A-I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Como N é estritamente triangular superior de ordem 3, tem N^3=0.

Passo 3

Tomamos f(x)=sin x. Calculamos derivadas em x=1:
f(1)=sin1, f'(1)=cos1, f''(1)=-sin1, f'''(1)=-cos1

Passo 4

Pela fórmula de Taylor truncada em m=2 (pois N^3=0),
sin(A) =summ=0^2f^(m)(1)m!N^m =sin1,I + cos1,N + -sin12!N^2

Passo 5

Calculamos N^2:
N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 6

Substituindo em sin(A)=sin1,I+cos1,N-tfracsin12N^2, obtemos
sin(A) = sin11&0&00&1&00&0&1 +cos10&1&20&0&30&0&0 -sin120&0&30&0&00&0&0
Fazendo as somas de matrizes:

Resposta

sin(A) = sin 1 & cos 1 & 2cos 1 - tfrac32 sin 1 [6pt] 0 & sin 1 & 3cos 1 [6pt] 0 & 0 & sin 1 ]

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