Considere o operador A cuja matriz é:
Use o cálculo funcional para obter:
cos (A)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
cos(A) para
usando cálculo funcional. O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor
e o fato de que
A é triangular, de modo que podemos escrever
A=I+N com
N estritamente superior e nilpotente.
Passo 2
Definimos
Como
N é estritamente triangular de ordem
3 , temos
Passo 3
Usando a série de Taylor,
Como
N comuta com
I e
N^3=0 , expandimos
logo
Passo 4
Precisamos dos coeficientes
Usamos relacionamentos com derivadas de
cos x :
-
c0 = sum(-1)^k/(2k)! = cos(1) -
c1 = sum(-1)^k2k(2k)! = -2sin(1) -
c2 = sum(-1)^k(2k)(2k-1)2,(2k)! = -tfrac12cos(1)
Passo 5
Assim
Substituindo
I,N,N^2 :
Passo 6
Fazendo a soma das matrizes, obtemos