Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
cos (A)

Passo 1

O enunciado pede para calcular cos(A) para
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 ,
usando cálculo funcional. O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor
cos(X) = sumk=0^infty (-1)^k(2k)!,X^2k,
e o fato de que A é triangular, de modo que podemos escrever A=I+N com N estritamente superior e nilpotente.

Passo 2

Definimos
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Como N é estritamente triangular de ordem 3, temos
N^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , N^3 = 0

Passo 3

Usando a série de Taylor,
cos(A) = sumk=0^infty (-1)^k(2k)!,A^2k = sumk=0^infty (-1)^k(2k)!,(I+N)^2k
Como N comuta com I e N^3=0, expandimos
(I+N)^2k = sumj=0^2 binom2kjN^j,
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cos(A) = sumj=0^2l[sumk=0^infty(-1)^k(2k)!binom2kjr]N^j

Passo 4

Precisamos dos coeficientes
cj = sumk=0^infty (-1)^k(2k)!binom2kj, j=0,1,2
Usamos relacionamentos com derivadas de cos x:
  1. c0 = sum(-1)^k/(2k)! = cos(1)
  2. c1 = sum(-1)^k2k(2k)! = -2sin(1)
  3. c2 = sum(-1)^k(2k)(2k-1)2,(2k)! = -tfrac12cos(1)

Passo 5

Assim
cos(A) = c0,I + c1,N + c2,N^2 = cos(1),I ;-;2sin(1),N ;-;cos(1)2,N^2
Substituindo I,N,N^2:
cos(A) = cos(1) & 0 & 0 0 & cos(1) & 0 0 & 0 & cos(1) -2sin(1) 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 -cos(1)2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 6

Fazendo a soma das matrizes, obtemos
cos(A) = cos(1) & -2sin(1) & -4sin(1)-tfrac32cos(1) 0 & cos(1) & -6sin(1) 0 & 0 & cos(1)

Resposta

cos(A) = cos(1) & -2sin(1) & -4sin(1)-tfrac32cos(1) 0 & cos(1) & -6sin(1) 0 & 0 & cos(1)

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