Prove as seguintes proposições:
Se uma reta r e perpendicular a um plano alpha e paralela a uma reta s, então s é perpendicular a alpha.

Passo 1

O enunciado afirma que existe uma reta r perpendicular a um plano alpha e uma reta s paralela a r. Queremos mostrar que s também é perpendicular a alpha. Para isso usaremos a definição de reta perpendicular a um plano (reta perpendicular a todas as retas do plano) e a propriedade de que retas paralelas formam o mesmo ângulo com uma reta transversal.

Passo 2

Seja ell uma reta arbitrária contida em alpha. Como rperpalpha, pela definição temos
ang<=(r,ell)=90^circ

Passo 3

Como sparal<=l r, o ângulo que s faz com ell é o mesmo que r faz com ell. Logo
ang<=(s,ell)=ang<=(r,ell)=90^circ,
portanto sperpell.

Passo 4

Visto que ell foi escolhida arbitrariamente em alpha, concluímos que s é perpendicular a toda reta do plano alpha. Assim
sperpalpha

Resposta

sperpalpha.

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