Considere z=\sqrt{3}+i e w=3 i. Determine \operatorname{Arg}\left(\frac{w}{z}\right).

Escolha uma opção:

◯ a. \pi / 3
◯ b. 2 \pi / 3
◯ C. \pi / 2
◯ d. 3 \pi / 2
◯ e. \pi / 6

Passo 1

O enunciado dá os números complexos \displaystyle z=\sqrt{3}+i e \displaystyle w=3i e pede para determinar \displaystyle \operatorname{Arg}\!\left(\frac{w}{z}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • \displaystyle z=\sqrt{3}+i.
  • \displaystyle w=3i.
  • Quer-se o argumento (ângulo) do quociente \displaystyle \frac{w}{z}.

Passo 2

Vou lembrar uma propriedade útil (que é muito usada em provas): para números complexos não nulos \displaystyle a e \displaystyle b vale, salvo ambiguidade de múltiplos de 2\pi,
\operatorname{Arg}\!\left(\frac{a}{b}\right)=\operatorname{Arg}(a)-\operatorname{Arg}(b).
Explicando essa propriedade de forma simples: escrever um complexo em forma polar como \displaystyle r e^{i\theta} (onde \displaystyle r>0 é o módulo e \displaystyle \theta é o argumento) transforma divisão em subtração de ângulos, porque
\frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}.
Por isso vou usar essa propriedade — é direto e evita contas longas — e depois faço uma verificação rápida por divisão no formato cartesiano para você confiar no resultado.

Passo 3

Calcular \displaystyle \operatorname{Arg}(w).
O número \displaystyle w=3i está sobre o eixo imaginário positivo (parte real zero e parte imaginária positiva). O argumento de um ponto sobre o eixo imaginário positivo é
\operatorname{Arg}(w)=\frac{\pi}{2}.
(Esse valor vem da interpretação geométrica: ponto em (0,3) no plano complexo tem ângulo de 90^\circ=\pi/2.)

Passo 4

Calcular \displaystyle \operatorname{Arg}(z).
O número \displaystyle z=\sqrt{3}+i tem parte real positiva \sqrt{3} e parte imaginária positiva 1, portanto está no primeiro quadrante. O argumento \theta_z satisfaz
\tan(\theta_z)=\frac{\Im(z)}{\Re(z)}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Qual ângulo tem tangente igual a \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}? É \displaystyle \theta_z=\frac{\pi}{6} (ou 30^\circ). Assim
\operatorname{Arg}(z)=\frac{\pi}{6}.
Observação didática: para primeiro quadrante não há ambiguidade — o ângulo principal é justamente esse.

Passo 5

Aplicar a propriedade do passo 2 para obter \displaystyle \operatorname{Arg}\!\left(\frac{w}{z}\right).
Usando
\operatorname{Arg}\!\left(\frac{w}{z}\right)=\operatorname{Arg}(w)-\operatorname{Arg}(z),
temos
\operatorname{Arg}\!\left(\frac{w}{z}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}.

Passo 6

Verificação por cálculo direto (multiplicando pelo conjugado) — boa para checar sinal e quadrante.
Calculo a divisão em forma cartesiana:
\frac{w}{z}=\frac{3i}{\sqrt{3}+i}\cdot\frac{\sqrt{3}-i}{\sqrt{3}-i} =\frac{3i(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3})^2+1^2} =\frac{3\sqrt{3}\,i-3i^2}{3+1} =\frac{3\sqrt{3}\,i+3}{4}.
Portanto
\frac{w}{z}=\frac{3}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\,i.
Aqui a parte real e a parte imaginária são positivas, logo o ponto está no primeiro quadrante e o argumento é
\arctan\!\left(\frac{\Im}{\Re}\right)=\arctan\!\left(\frac{3\sqrt{3}/4}{3/4}\right)=\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

a. \frac{\pi}{3}

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