Considere
e
. Determine
.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá os números complexos
e
e pede para determinar
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
. - Quer-se o argumento (ângulo) do quociente
.
Passo 2
Vou lembrar uma propriedade útil (que é muito usada em provas): para números complexos não nulos
e
vale, salvo ambiguidade de múltiplos de
,
Explicando essa propriedade de forma simples: escrever um complexo em forma polar como
(onde
é o módulo e
é o argumento) transforma divisão em subtração de ângulos, porque
Por isso vou usar essa propriedade — é direto e evita contas longas — e depois faço uma verificação rápida por divisão no formato cartesiano para você confiar no resultado.
Passo 3
Calcular
.
O número
está sobre o eixo imaginário positivo (parte real zero e parte imaginária positiva). O argumento de um ponto sobre o eixo imaginário positivo é
(Esse valor vem da interpretação geométrica: ponto em
no plano complexo tem ângulo de
.)
Passo 4
Calcular
.
O número
tem parte real positiva
e parte imaginária positiva
, portanto está no primeiro quadrante. O argumento
satisfaz
Qual ângulo tem tangente igual a
? É
(ou
). Assim
Observação didática: para primeiro quadrante não há ambiguidade — o ângulo principal é justamente esse.
Passo 5
Aplicar a propriedade do passo 2 para obter
.
Usando
temos
Passo 6
Verificação por cálculo direto (multiplicando pelo conjugado) — boa para checar sinal e quadrante.
Calculo a divisão em forma cartesiana:
Portanto
Aqui a parte real e a parte imaginária são positivas, logo o ponto está no primeiro quadrante e o argumento é
confirmando o resultado anterior.
Resposta
a.