Se z é um complexo cujo módulo é 2 \sqrt{2} e o argumento principal é \pi / 4, então a forma algébrica de z é:
Escolha uma opção:
◯ a. -2-2 i
◯ b. 2 i
◯ C. 2-2i
◯ d. -2+2 i
◯ e. 2+2 i

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Módulo de z: \,2\sqrt{2}\,.
  • Argumento principal de z: \pi/4.
    O que se pede: escrever a forma algébrica (ou cartesiana) de z e escolher a alternativa correta entre:
  • a. -2-2 i
  • b. 2 i
  • c. 2-2i
  • d. -2+2 i
  • e. 2+2 i

Passo 2

Explicação do método (fórmula que vamos usar). Um número complexo pode ser dado em forma polar por seu módulo r e argumento \theta. A relação entre a forma polar e a forma algébrica é
z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big).
Aqui:
  • r é o módulo (distância à origem),
  • \theta é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo),
  • i é a unidade imaginária ( i^2=-1).
    Vamos aplicar essa fórmula com r=2\sqrt{2} e \theta=\pi/4.

Passo 3

Calcular \cos\theta e \sin\theta para \theta=\pi/4.
É conhecido (triângulo de 45^\circ) que
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Calcular as componentes real e imaginária multiplicando r por \cos\theta e por \sin\theta.
Real:
\operatorname{Re}(z)=r\cos\theta = 2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
Detalhando a conta:
2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =2\cdot\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2} =2\cdot\frac{2}{2} =2.
Imaginária:
\operatorname{Im}(z)=r\sin\theta = 2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},
que, pela mesma conta, vale \,2.

Passo 5

Conclui-se que a parte real é 2 e a parte imaginária é 2. Agora compare com as alternativas fornecidas: a alternativa que corresponde às componentes real 2 e imaginária 2 é a letra e.

Resposta

e. 2+2 i

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