A forma trigonométrica do complexo z=1-i é
Escolha uma opção:
◯ a. \quad z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{3 \pi}{4}\right).
◯ b. z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{4}\right).
◯ C. z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{2}\right).
◯ d. z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5 \pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{5 \pi}{4}\right).
◯ e. z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{7 \pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{7 \pi}{4}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo z=1-i e pede a sua forma trigonométrica, ou seja, escrever z como r(\cos\theta+i\sin\theta). Informação relevante fornecida:
  • Parte real: x=1.
  • Parte imaginária: y=-1.
  • As alternativas oferecidas variam os argumentos \theta entre \tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4} e todas usam módulo \sqrt{2}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição e as fórmulas que vamos usar (pega leve, é só decorar um padrão):
  • A forma trigonométrica (ou polar) de um complexo z=x+iy é
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
onde:
  • r é o módulo, definido por r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • \theta é o argumento, um ângulo tal que \cos\theta=\dfrac{x}{r} e \sin\theta=\dfrac{y}{r}.
  • Para encontrar \theta a partir de x e y, uma forma prática é usar \theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) e depois ajustar o resultado conforme o quadrante em que o ponto (x,y) está:
    • se x>0 e y<0 (quadrante IV), o valor \arctan(\tfrac{y}{x}) será negativo e pode ser interpretado como \theta=-\alpha ou \theta=2\pi-\alpha; ambos representam o mesmo ângulo módulo 2\pi.

Passo 3

Calcular o módulo r.
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 4

Encontrar um argumento \theta.
Primeiro calcule \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr):
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\frac{-1}{1}\right)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}.
Como x=1>0 e y=-1<0, o ponto (1,-1) está no quadrante IV. O ângulo -\tfrac{\pi}{4} é correto, mas muitas vezes preferimos um argumento no intervalo [0,2\pi); então somamos 2\pi:
-\frac{\pi}{4}+2\pi = \frac{7\pi}{4}.
Logo, \theta pode ser tomado como -\tfrac{\pi}{4} ou como \tfrac{7\pi}{4}. Ambas representam a mesma direção.

Passo 5

Verificar as razões trigonométricas para confirmar:
Calcule \cos e \sin de \theta=\tfrac{7\pi}{4}.
\cos\!\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Multiplicando por r=\sqrt{2}:
r\cos\theta=\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1,\qquad r\sin\theta=\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1.
Isso reproduz exatamente a parte real 1 e a parte imaginária -1 de z, então está correto.

Passo 6

Escrever a forma trigonométrica final e identificar a alternativa que corresponde:
z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right).
Comparando com as opções dadas, essa é a alternativa (e).

Resposta

(e)

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