Se z é um complexo tal que |z|=\sqrt{2}, então \left|z^{10}\right|=32.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado dá a informação e faz uma pergunta claramente:
  • Dado que |z|=\sqrt{2} para um número complexo z.
  • A afirmação a verificar é: \left|z^{10}\right|=32.
    A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Fato importante sobre módulo de complexos (explicado de forma simples): para quaisquer números complexos a e b vale
|ab| = |a|\,|b|.
Isto significa que o módulo do produto é o produto dos módulos. A partir disso segue por indução que, para todo inteiro positivo n,
|z^n| = |z|^n.
Breve justificativa por indução: para n=1 é trivial. Se |z^k| = |z|^k então
|z^{k+1}| = |z^k z| = |z^k|\,|z| = |z|^k\,|z| = |z|^{k+1},
logo a propriedade vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao caso n=10, obtemos
\left|z^{10}\right| = |z|^{10} = \left(\sqrt{2}\right)^{10}.
Agora calculamos \left(\sqrt{2}\right)^{10}. Como \sqrt{2}=2^{1/2}, tem-se
\left(\sqrt{2}\right)^{10} = \left(2^{1/2}\right)^{10} = 2^{10/2} = 2^{5}.
E 2^{5}=32.

Passo 4

Portanto o valor calculado é
\left|z^{10}\right| = 32.

Resposta

Verdadeiro

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