( 1,5 \mathrm{pt} ) Calcule o valor médio da função f(x)=x \sqrt{49-x^{2}} no intervalo [0,7].

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor médio da função f(x)=x\sqrt{49-x^{2}} no intervalo [0,7].
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x\sqrt{49-x^{2}}.
  • O intervalo é [0,7].
  • A pergunta é única: encontrar o valor médio de f nesse intervalo.

Passo 2

Recordando a definição de valor médio de uma função em um intervalo [a,b]: o valor médio de f em [a,b] é
f_{\text{médio}}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.é
Aqui a=0 e b=7. Então precisamos calcular a integral
\int_{0}^{7} x\sqrt{49-x^{2}}\,dx
e depois dividir o resultado por 7-0=7.
Explicação rápida do porquê dessa fórmula: a integral \int_a^b f(x)\,dx dá a “área acumulada” sob f entre a e b. Dividindo pela largura do intervalo b-a obtemos a altura média dessa área — ou seja, o valor médio da função.

Passo 3

Vamos calcular a integral \int x\sqrt{49-x^{2}}\,dx. Observação: o integrando tem a forma x vezes uma função de 49-x^{2}. Isso sugere a substituição u=49-x^{2}, porque du é proporcional a x\,dx.
Fazendo a substituição:
u = 49-x^{2}, \qquad du = -2x\,dx \qquad\Rightarrow\qquad x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral (aqui mostro a primitiva, não ainda os limites):
\int x\sqrt{49-x^{2}}\,dx = \int \sqrt{u}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) = -\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Integrando em u:
-\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = -\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{1}{3}u^{3/2}+C.
Voltando para x:
\int x\sqrt{49-x^{2}}\,dx = -\frac{1}{3}\bigl(49-x^{2}\bigr)^{3/2}+C.
Agora calculamos a integral definida de 0 a 7:
\int_{0}^{7} x\sqrt{49-x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{3}\bigl(49-x^{2}\bigr)^{3/2}\right]_{0}^{7}.
Avaliação das extremidades:
\bigl(49-7^{2}\bigr)^{3/2}=(49-49)^{3/2}=0, \qquad \bigl(49-0^{2}\bigr)^{3/2}=49^{3/2}=(\sqrt{49})^{3}=7^{3}=343.
Portanto
\int_{0}^{7} x\sqrt{49-x^{2}}\,dx = -\frac{1}{3}\cdot 0 -\left(-\frac{1}{3}\cdot 343\right)=\frac{343}{3}.

Passo 5

Agora dividimos pelo comprimento do intervalo para obter o valor médio:
f_{\text{médio}}=\frac{1}{7}\cdot\frac{343}{3}=\frac{343}{21}=\frac{49}{3}.é
Interpretação numérica: \dfrac{49}{3}\approx 16{,}333. Força e foco — esse tipo de integral cai bastante em prova e o truque é reconhecer a substituição u=49-x^{2} porque aparece x\,dx.

Resposta

\dfrac{49}{3}

Exercícios relacionados