(
) Calcule o valor médio da função
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o valor médio da função
no intervalo
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo é
. - A pergunta é única: encontrar o valor médio de
nesse intervalo.
Passo 2
Recordando a definição de valor médio de uma função em um intervalo
: o valor médio de
em
é
Aqui
e
. Então precisamos calcular a integral
e depois dividir o resultado por
.
Explicação rápida do porquê dessa fórmula: a integral
dá a “área acumulada” sob
entre
e
. Dividindo pela largura do intervalo
obtemos a altura média dessa área — ou seja, o valor médio da função.
Passo 3
Vamos calcular a integral
. Observação: o integrando tem a forma
vezes uma função de
. Isso sugere a substituição
, porque
é proporcional a
.
Fazendo a substituição:
Substituindo na integral (aqui mostro a primitiva, não ainda os limites):
Passo 4
Integrando em
:
Voltando para
:
Agora calculamos a integral definida de
a
:
Avaliação das extremidades:
Portanto
Passo 5
Agora dividimos pelo comprimento do intervalo para obter o valor médio:
Interpretação numérica:
. Força e foco — esse tipo de integral cai bastante em prova e o truque é reconhecer a substituição
porque aparece
.