Um componente ABCDE de um navio de 2500 kN de peso total está sendo suspendido por um conjunto de 3 guindastes. Calcular a força nos cabos de suspensão AFC, BHE, DJ, FG e HI. Indicar a orientação dos dois últimos cabos.

Passo 1

Temos uma viga rígida ABCDE, de comprimento total 35\rm \,m, peso \,W=2500\rm \,kN atuando no meio do vão CD (vão 15\rm\,m, logo na posição 7{,}5\rm\,m a partir de C). Essa viga está presa a três cabos/crânkes em A, C e D:
  • Em A o cabo vai até a polia em F fazendo 45^\circ acima da horizontal e depois segue até o gancho em G.
  • Em C o cabo vai até a polia em H com ângulo de 60^\circ acima da horizontal e depois segue até o gancho em I.
  • Em D o cabo sai vertical para a polia em H e daí segue para o gancho em J.
    Queremos as forças de tração nos cabos (tensão): \quad T_{AF} (igual a T_{FG}), \quad T_{CH} (igual a T_{HI}), \quad T_{DJ},
    e indicar a orientação dos trechos FG e HI.
    Para resolver, vamos usar as equações de equilíbrio: \sum F_x=0, \sum F_y=0 e \sum M_A=0.

Passo 2

Denotemos
T_1 = T_{AF}=T_{FG},\quad T_2 = T_{CH}=T_{HI},\quad T_3 = T_{DJ}.
As direções no contorno da viga são:
– Em A: \vec T_1 faz 45^\circ acima da horizontal para a esquerda.
– Em C: \vec T_2 faz 60^\circ acima da horizontal para a direita.
– Em D: \vec T_3 é vertical para cima.
Escrevemos os componentes:
T_1:\;(-T_1\cos45^\circ,\;T_1\sin45^\circ),\quad T_2:\;(+T_2\cos60^\circ,\;T_2\sin60^\circ),\quad T_3:\;(0,\;T_3).

Passo 3

Equilíbrio em x:
-\,T_1\cos45^\circ \;+\;T_2\cos60^\circ \;=\;0. \Rightarrow
T_1\cos45^\circ = T_2\cos60^\circ.\tag{1}
Equilíbrio em y:
T_1\sin45^\circ \;+\;T_2\sin60^\circ \;+\;T_3 \;-\;2500 \;=\;0. \Rightarrow
T_3 = 2500 \;-\;T_1\sin45^\circ\;-\;T_2\sin60^\circ.\tag{2}
Momento em A (positivos CCW):
– O peso gera 2500\cdot 22{,}5
T_2 tem componente vertical em C, braço AC=15\rm\,m.
T_3 é vertical em D, braço AD=30\rm\,m.
Logo
T_2\sin60^\circ\cdot 15\;+\;T_3\cdot 30 \;=\;2500\cdot 22{,}5. \tag{3}

Passo 4

Da equação (1):
T_1 = T_2\,\frac{\cos60^\circ}{\cos45^\circ} = T_2\;\frac{0{,}5}{0{,}7071}\approx 0{,}7071\,T_2.
Substituindo em (2):
T_3 = 2500 \;-\;(0{,}7071\,T_2)\,(0{,}7071)\;-\;T_2\,(0{,}8660) =2500 -0{,}5\,T_2 -0{,}8660\,T_2 =2500 -1{,}3660\,T_2.
Agora em (3):
T_2(0{,}8660)\,15 \;+\;30\bigl(2500 -1{,}3660\,T_2\bigr) =2500\cdot 22{,}5.
Isto é
12{,}99\,T_2 +75\,000 \;-\;40{,}98\,T_2 =56\,250 \quad\Longrightarrow\quad -27{,}99\,T_2 = -18\,750
\boxed{T_2 \approx 670\rm\\ kN.}

Passo 5

Com T_2=670:
T_1 =0{,}7071\cdot 670\approx 474\rm\\ kN, \quad T_3 =2500 -1{,}3660\cdot 670\approx1585\rm\\ kN.

Resposta

Cabo AFC (isto é T_{AF}=T_{FG}) = T_1\approx 474\rm\\ kN.
Cabo BHE (isto é T_{CH}=T_{HI}) = T_2\approx 670\rm\\ kN.
Cabo DJ T_{DJ} = T_3\approx1585\rm\\ kN.
O trecho FG do cabo 1 é horizontal.
O trecho HI do cabo 2 é horizontal.

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