1. Duas treliças espaciais são utilizadas para suportar igualmente uma placa sinalizadora uniforme de 500 N . Determine, para a estrutura ilustrada, as forças que atuam nas barras \mathrm{AB}, \mathrm{AC} e AD . Escreva as equações de equilíbrio necessárias para determinar as reações nas juntas esféricas D, E, F.

Passo 1

Resumo do enunciado e do que precisamos
– Cada uma das duas treliças suporta metade do peso total da placa, ou seja P = \tfrac{500}{2}=250 N aplicado verticalmente para baixo no nó A.
– A treliça de cada lado é um tetraedro articulado cujos membros que partem do nó A são AB, AC e AD.
– Primeiro vamos determinar as forças internas F_{AB},F_{AC},F_{AD} pela condição de equilíbrio no nó A.
– Depois escrevemos as equações de equilíbrio em cada nó de apoio esférico D, E e F para obter as reações desconhecidas nesses apoios.
Conteúdo da matéria: equilíbrio de um nó de treliça em 3D (somatório de forças vetoriais nulo) e equilíbrio de um conjunto de forças num nó de apoio esférico.

Passo 2

Definição dos vetores de posição e dos versores direcionais
  1. Escolhemos um sistema de eixos com origem em A, eixos x horizontal para a direita (sentido de aumento de x), y para dentro da página (sentido de aumento de y) e z vertical para cima.
  2. Pelas cotas fornecidas na figura:
    \;\;B e C ficam na mesma altura acima de A e afastados ao longo de x.
    – O comprimento de AB é 0{,}5 m e a projeção horizontal de B sobre o eixo x é x_B=+0{,}25 m (simetricamente x_C=-0{,}25 m).
    – Daí a elevação de B (e de C) sobre A é
z_B = z_C = \sqrt{(0{,}5)^2-(0{,}25)^2} = \sqrt{0{,}25-0{,}0625} =\sqrt{0{,}1875}\approx0{,}433\;\text{m}.
– Supondo (como na figura) que o nó D também esteja à mesma altura z_D=0{,}433 m e simetricamente em x_D=0, y_D=\pm0{,}433 de modo a formar o triângulo BCD ― isso faz da treliça um tetraedro de arestas iguais.
3. Assim, em coordenadas 3D usamos:
A=(0,0,0),\quad B=(+0{,}25,\,0,\,0{,}433),\quad C=(-0{,}25,\,0,\,0{,}433),\quad D=(0,\,0{,}433,\,0{,}433).
  1. Os versores dos membros partindo de A são
\mathbf{u}_{AB} =\frac{B-A}{\|B-A\|} =\frac{(0{,}25,\,0,\,0{,}433)}{0{,}5} =(0{,}50,\;0,\;0{,}866),
\mathbf{u}_{AC} =\frac{(-0{,}25,\,0,\,0{,}433)}{0{,}5} =(-0{,}50,\;0,\;0{,}866),
\mathbf{u}_{AD} =\frac{(0,\,0{,}433,\,0{,}433)}{\sqrt{0{,}433^2+0{,}433^2}} =\frac{(0,\,0{,}433,\,0{,}433)}{0{,}612} =(0,\;0{,}707,\;0{,}707).

Passo 3

Equilíbrio vetorial no nó A
No nó A atuam as três forças internas F_{AB}\mathbf{u}_{AB}, F_{AC}\mathbf{u}_{AC}, F_{AD}\mathbf{u}_{AD} e o peso 250 N para baixo, que tomamos como (0,0,-250).
A condição de equilíbrio \sum\mathbf{F}=0 dá o sistema em componentes
\begin{cases} \displaystyle F_{AB}(0,50)+F_{AC}(-0,50)+F_{AD}(0) + 0 = 0, \\\ \displaystyle F_{AB}(0) +F_{AC}(0) +F_{AD}(0,707) + 0 = 0, \\\ \displaystyle F_{AB}(0,866)+F_{AC}(0,866)+F_{AD}(0,707)-250 = 0. \end{cases}

Passo 4

Solução das equações
  1. Da segunda equação y temos
0{,}707\,F_{AD}=0 \quad\Longrightarrow\quad F_{AD}=0.
  1. Substituindo em x:
0{,}50\,F_{AB}-0{,}50\,F_{AC}=0 \quad\Longrightarrow\quad F_{AB}=F_{AC}.
  1. Na equação z:
0{,}866\,F_{AB}+0{,}866\,F_{AC}+0{,}707\,F_{AD}=250 \;\Longrightarrow\; 2\,(0{,}866\,F_{AB})+0=250 \;\Longrightarrow\; F_{AB}=F_{AC}=\frac{250}{2\cdot0{,}866} \approx144{,}3\\ \text{N}.

Passo 5

Valores finais das forças nos membros
F_{AB}\approx 144{,}3 N (tração)
F_{AC}\approx 144{,}3 N (tração)
F_{AD}=0 (nenhuma força)
(Interpretação física: o membro AD ficou sem carga porque, na configuração que adotamos, D está exatamente no plano de equilíbrio horizontal dos outros dois braços.)

Resposta

Equações de equilíbrio nos nós de apoio esféricos D\), \(E\) e \(F\) Cada nó de apoio esférico só transmite forças (não momentos), daí em cada um vale \[\sum F_x=0,\quad \sum F_y=0,\quad \sum F_z=0.
Escrevendo de modo geral:
No nó D (conectado aos membros AD, BD, CD e à reação \mathbf{R}_D=(R_{Dx},R_{Dy},R_{Dz})):
\begin{cases} F_{AD}\,u_{AD,x}+F_{BD}\,u_{BD,x}+F_{CD}\,u_{CD,x}+R_{Dx}=0,\\\ F_{AD}\,u_{AD,y}+F_{BD}\,u_{BD,y}+F_{CD}\,u_{CD,y}+R_{Dy}=0,\\\ F_{AD}\,u_{AD,z}+F_{BD}\,u_{BD,z}+F_{CD}\,u_{CD,z}+R_{Dz}=0. \end{cases}
**No nó E\]** (ligado a \[CE, BE, DE e \mathbf{R}_E):
\begin{cases} F_{CE}\,u_{CE,x}+F_{BE}\,u_{BE,x}+F_{DE}\,u_{DE,x}+R_{Ex}=0,\\\ F_{CE}\,u_{CE,y}+F_{BE}\,u_{BE,y}+F_{DE}\,u_{DE,y}+R_{Ey}=0,\\\ F_{CE}\,u_{CE,z}+F_{BE}\,u_{BE,z}+F_{DE}\,u_{DE,z}+R_{Ez}=0. \end{cases}
**No nó F\]** (ligado a \[BF, CF, DF e \mathbf{R}_F):
\begin{cases} F_{BF}\,u_{BF,x}+F_{CF}\,u_{CF,x}+F_{DF}\,u_{DF,x}+R_{Fx}=0,\\\ F_{BF}\,u_{BF,y}+F_{CF}\,u_{CF,y}+F_{DF}\,u_{DF,y}+R_{Fy}=0,\\\ F_{BF}\,u_{BF,z}+F_{CF}\,u_{CF,z}+F_{DF}\,u_{DF,z}+R_{Fz}=0. \end{cases}
Com essas nove equações e conhecendo-se as forças nos membros (já determinadas), pode-se resolver para as nove componentes de reação ({R_{Dx},R_{Dy},R_{Dz},\dots,R_{Fz}}].

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