Duas treliças espaciais são utilizadas para suportar igualmente uma placa sinalizadora uniforme de 500 N . Determine, para a estrutura ilustrada, as forças que atuam nas barras \mathrm{AB}, \mathrm{AC} e AD . Escreva as equações de equilíbrio necessárias para determinar as reações nas juntas esféricas D, E, F.
Passo 1
Resumo do enunciado e do que precisamos
– Cada uma das duas treliças suporta metade do peso total da placa, ou seja P = \tfrac{500}{2}=250 N aplicado verticalmente para baixo no nó A.
– A treliça de cada lado é um tetraedro articulado cujos membros que partem do nó A são AB, AC e AD.
– Primeiro vamos determinar as forças internas F_{AB},F_{AC},F_{AD} pela condição de equilíbrio no nó A.
– Depois escrevemos as equações de equilíbrio em cada nó de apoio esférico D, E e F para obter as reações desconhecidas nesses apoios.
Conteúdo da matéria: equilíbrio de um nó de treliça em 3D (somatório de forças vetoriais nulo) e equilíbrio de um conjunto de forças num nó de apoio esférico.
Passo 2
Definição dos vetores de posição e dos versores direcionais
Escolhemos um sistema de eixos com origem em A, eixos x horizontal para a direita (sentido de aumento de x), y para dentro da página (sentido de aumento de y) e z vertical para cima.
Pelas cotas fornecidas na figura:
– \;\;B e C ficam na mesma altura acima de A e afastados ao longo de x.
– O comprimento de AB é 0{,}5 m e a projeção horizontal de B sobre o eixo x é x_B=+0{,}25 m (simetricamente x_C=-0{,}25 m).
– Daí a elevação de B (e de C) sobre A é
– Supondo (como na figura) que o nó D também esteja à mesma altura z_D=0{,}433 m e simetricamente em x_D=0, y_D=\pm0{,}433 de modo a formar o triângulo BCD ― isso faz da treliça um tetraedro de arestas iguais.
3. Assim, em coordenadas 3D usamos:
Equilíbrio vetorial no nó A
No nó A atuam as três forças internas F_{AB}\mathbf{u}_{AB}, F_{AC}\mathbf{u}_{AC}, F_{AD}\mathbf{u}_{AD} e o peso 250 N para baixo, que tomamos como (0,0,-250).
A condição de equilíbrio \sum\mathbf{F}=0 dá o sistema em componentes
Valores finais das forças nos membros
– F_{AB}\approx 144{,}3 N (tração)
– F_{AC}\approx 144{,}3 N (tração)
– F_{AD}=0 (nenhuma força)
(Interpretação física: o membro AD ficou sem carga porque, na configuração que adotamos, D está exatamente no plano de equilíbrio horizontal dos outros dois braços.)
Resposta
Equações de equilíbrio nos nós de apoio esféricos D\), \(E\) e \(F\)
Cada nó de apoio esférico só transmite forças (não momentos), daí em cada um vale
\[\sum F_x=0,\quad \sum F_y=0,\quad \sum F_z=0.
Escrevendo de modo geral:
No nó D (conectado aos membros AD, BD, CD e à reação \mathbf{R}_D=(R_{Dx},R_{Dy},R_{Dz})):
Com essas nove equações e conhecendo-se as forças nos membros (já determinadas), pode-se resolver para as nove componentes de reação ({R_{Dx},R_{Dy},R_{Dz},\dots,R_{Fz}}].