Uma placa de aço uniforme ABCD de 0,5 \times 0,75 \mathrm{~m} pesa 385 N e está presa a rótulas em A e B. Sabendo que a placa se apóia sobre uma parede vertical sem atrito em D determine a localização do ponto D e a reação em D.

Passo 1

Temos uma placa delgada ABCD, de formato retangular com lados de 0,75\:\text{m} (AB) e 0,5\:\text{m} (BC), peso de 385\:\text{N}, presa em rótulas nos pontos A e B e apoiada sem atrito num muro vertical em D. Queremos:
  1. A posição de D no referencial dado.
  2. A reação \mathbf{R}_D em D.
Para isso usamos:
  • Geometria de paralelogramo para achar D.
  • Equilíbrio de momentos em torno do eixo da rótula (reta AB) para determinar a intensidade de \mathbf{R}_D, sabendo que essa força é normal ao muro (direção x).

Passo 2

Escolhemos o sistema de eixos mostrado na figura, onde as projeções de A, B e C são:
A=(0,\;0,\;0.1),\quad B=(0.7,\;0,\;0.3),\quad C=(1.1,\;0.5,\;0.3).
Como ABCD é retângulo, vale a condição de paralelogramo
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{C\,B} \quad\Longrightarrow\quad D = A + (C - B).
Logo,
D = (0,\;0,\;0.1) + \bigl((1.1,\;0.5,\;0.3)-(0.7,\;0,\;0.3)\bigr) = (0.4,\;0.5,\;0.1)\:\text{m}.

Passo 3

Calculamos a posição do centro de massa G, que é o centróide do retângulo:
G = \frac{A + B + C + D}{4} = \Bigl(\tfrac{0+0.7+1.1+0.4}{4},\;\tfrac{0+0+0.5+0.5}{4},\;\tfrac{0.1+0.3+0.3+0.1}{4}\Bigr) =(0.55,\;0.25,\;0.20)\:\text{m}.

Passo 4

O momento da força peso \mathbf{W}=(0,\,-385,\,0) em relação a A é
\mathbf{M}_A^W =\overrightarrow{AG}\times \mathbf{W} =(0.55,\;0.25,\;0.20)\times(0,-385,0) =(77,\;0,\;-211.75)\:\text{N\cdotm}.
O eixo das rótulas é a reta AB de vetor diretor
\mathbf{u}_{AB} =\frac{B-A}{\|B-A\|} =\frac{(0.7,0,-0.2)}{\sqrt{0.7^2+(-0.2)^2}} =(0.9615,\;0,\;-0.2747).

Passo 5

A reação em D é normal ao muro, ou seja \mathbf{R}_D=(R,0,0). Seu momento em A é
\mathbf{M}_A^{D} =\overrightarrow{AD}\times \mathbf{R}_D =(0.4,\,0.5,\,0.1)\times(R,0,0) =(0,\;0.1\,R,\;-0.5\,R).
Na ausência de momento nas rótulas, a soma dos momentos em torno de AB deve anular-se:
\bigl(\mathbf{M}_A^W+\mathbf{M}_A^{D}\bigr)\!\cdot \mathbf{u}_{AB}=0.
Calculando os produtos escalares:
\mathbf{M}_A^W\cdot\mathbf{u}_{AB} =77\cdot0.9615 + (-211.75)\cdot(-0.2747) \approx 133.17\:\text{N\cdotm},
\mathbf{M}_A^{D}\cdot\mathbf{u}_{AB} =0\cdot0.9615 + (0.1R)\cdot0 + (-0.5R)\cdot(-0.2747) =0.13735\,R.
Logo,
0.13735\,R + 133.17 = 0 \quad\Longrightarrow\quad R\approx -970\:\text{N}.
O sinal indica que a reação atua em sentido oposto ao x positivo.

Resposta

Posição de D:
D = (0.4,\;0.5,\;0.1)\:\text{m}.
Reação em D:
\|\mathbf{R}_D\| \approx 970\:\text{N},
direcionada normal ao muro (sentido negativo de x).

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