Um escoamento laminar, em regime permanente, ocorre entre uma placa fixa (inferior) e outra móvel, separadas por uma distância 2 h, conforme a ilustração. Os efeitos da gravidade são nulos e o escoamento é completamente desenvolvido (não há variação da velocidade em x). Supondo que a viscosidade mu seja conhecida, deseja-se determinar o gradiente de pressão constante em x, dpdx, necessário para que a vazão de líquido que escoa para a esquerda (em valor líquido absoluto), seja igual à que escoa para a direita. Para isso, pede-se:
Encontre dp/dx em função de U e do restante dos parâmetros, aplicando ao perfil de velocidade a condição;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica dos fluidos juntos! A gente tem um fluxo laminar entre duas placas: a de baixo está parada e a de cima está se movendo com uma velocidade $ U $. A distância entre elas é $ 2h $. Nosso objetivo aqui é encontrar o gradiente de pressão $ \frac{dp}{dx} $ necessário para que a quantidade de líquido que flui para a esquerda seja igual à que flui para a direita. Para isso, vamos usar conceitos de fluxo em regime permanente e viscosidade. Vamos precisar aplicar a equação de Navier-Stokes para fluxo laminar entre placas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o perfil de velocidade do fluxo entre as placas. Como o fluxo é totalmente desenvolvido e não há variação da velocidade ao longo de $ x $, a velocidade $ u $ só varia na direção $ y $, que é perpendicular às placas.

Passo 3

A equação de Navier-Stokes para esse caso simplifica, já que não há aceleração e os efeitos da gravidade são nulos. A equação fica:
d^2 udy^2 = -1mu dpdx
Aqui, $ \mu $ é a viscosidade do fluido.

Passo 4

Vamos integrar a equação duas vezes para encontrar a expressão para $ u(y) $:
Primeira integração:
u(y)
Segunda integração:
dudy = -1mu dpdx y + C1

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $:
  1. Na placa fixa inferior ($ y = -h $): $ u(-h) = 0 $
C1
C2
  1. Na placa móvel superior ($ y = h $): $ u(h) = U $
y = -h

Passo 6

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar $ C_2 $:
C2
U = -12mu dpdx h^2 + C1 h + C2
0 = -h^22mu dpdx - C1 h + C2
U = -12mu dpdx h^2 + C1 h + ( h^22mu dpdx + C1 h )

Passo 7

Agora, isolamos $ \frac{dp}{dx} $ para encontrar o gradiente de pressão:
dpdx

Resposta

O gradiente de pressão necessário é
dpdx = U muh^2

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