Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor
em relação à base
em cada caso:
e
;
Passo 1
O enunciado pede: "Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor
em relação à base
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- O espaço vetorial é
. - O vetor é
, onde são números reais quaisquer. - A base é
. Vou denotar os vetores da base por .
O que se pede exatamente: encontrar os escalares(as coordenadas de na base ) tais que .
Passo 2
Explicação do conceito (rápida e prática): coordenadas de um vetor numa base são os coeficientes da combinação linear do vetor usando os vetores da base. Ou seja, se
, então as coordenadas de
são os números
que satisfazem
. Na prova, normalmente você monta essa equação e resolve o sistema linear que aparece das componentes.
Passo 3
Escrevemos a equação vetorial pedida:
Passo 4
Expandindo o lado direito componente a componente obtemos um sistema de equações para as coordenadas
:
- primeira componente:
. - segunda componente:
. - terceira componente:
.
Passo 5
Resolver passo a passo o sistema, usando as equações na ordem em que ficam simples:
- Da primeira equação vem imediatamente
. - Substituindo
na segunda equação: , daí . - Substituindo
e na terceira equação:
Agora substituo
e
:
Fazendo as contas com calma:
Passo 6
Portanto as coordenadas de
na base
são os escalares
Em notação de vetor de coordenadas:
Passo 7
Checagem rápida com um exemplo numérico (para ganhar confiança): se
então
,
,
. Logo
. De fato
corresponde a
, bate certinho.