Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor v \in V em relação à base \mathcal{B} em cada caso:
V=\mathbb{R}^{3}, v=(x, y, z) e \mathcal{B}=\{(1,2,3),(0,1,2),(0,0,1)\};

Passo 1

O enunciado pede: "Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor v\in V em relação à base \mathcal{B}".
Informações dadas:
  • O espaço vetorial é V=\mathbb{R}^{3}.
  • O vetor é v=(x,y,z), onde x,y,z são números reais quaisquer.
  • A base é \mathcal{B}=\{(1,2,3),\,(0,1,2),\,(0,0,1)\}. Vou denotar os vetores da base por \,b_1=(1,2,3),\;b_2=(0,1,2),\;b_3=(0,0,1).
    O que se pede exatamente: encontrar os escalares c_1,c_2,c_3 (as coordenadas de v na base \mathcal{B}) tais que v=c_1 b_1 + c_2 b_2 + c_3 b_3.

Passo 2

Explicação do conceito (rápida e prática): coordenadas de um vetor numa base são os coeficientes da combinação linear do vetor usando os vetores da base. Ou seja, se \mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\}, então as coordenadas de v são os números c_1,c_2,c_3 que satisfazem v=c_1 b_1+c_2 b_2+c_3 b_3. Na prova, normalmente você monta essa equação e resolve o sistema linear que aparece das componentes.

Passo 3

Escrevemos a equação vetorial pedida:
(x,y,z)=c_1(1,2,3)+c_2(0,1,2)+c_3(0,0,1).

Passo 4

Expandindo o lado direito componente a componente obtemos um sistema de equações para as coordenadas c_1,c_2,c_3:
  • primeira componente: \;x = c_1.
  • segunda componente: \;y = 2c_1 + c_2.
  • terceira componente: \;z = 3c_1 + 2c_2 + c_3.

Passo 5

Resolver passo a passo o sistema, usando as equações na ordem em que ficam simples:
  • Da primeira equação vem imediatamente \;c_1 = x.
  • Substituindo c_1 na segunda equação: \;y = 2x + c_2, daí \;c_2 = y - 2x.
  • Substituindo c_1 e c_2 na terceira equação:
c_3 = z - 3c_1 - 2c_2.
Agora substituo c_1=x e c_2 = y-2x:
c_3 = z - 3x - 2(y-2x).
Fazendo as contas com calma:
c_3 = z - 3x - 2y + 4x = z + x - 2y.

Passo 6

Portanto as coordenadas de v na base \mathcal{B} são os escalares
c_1 = x,\qquad c_2 = y-2x,\qquad c_3 = z + x - 2y.
Em notação de vetor de coordenadas:
[v]_{\mathcal{B}} = \bigl(c_1,c_2,c_3\bigr) = \bigl(x,\;y-2x,\;z+x-2y\bigr).

Passo 7

Checagem rápida com um exemplo numérico (para ganhar confiança): se v=(1,2,3) então c_1=1, c_2=2-2\cdot1=0, c_3=3+1-2\cdot2=0. Logo [v]_{\mathcal{B}}=(1,0,0). De fato (1,0,0) corresponde a 1\cdot b_1 +0\cdot b_2+0\cdot b_3 = b_1=(1,2,3), bate certinho.

Resposta

\displaystyle [v]_{\mathcal{B}}=\bigl(x,\;y-2x,\;z+x-2y\bigr)

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