Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor v \in V em relação à base \mathcal{B} em cada caso: V=M_{2 \times 2}, v=\left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\\\ -1 & 2\end{array}\right] e \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]\right\};
Passo 1
O enunciado pede: "Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor v em relação à base \mathcal{B}". Os dados fornecidos são:
O espaço vetorial é V=M_{2\times2}.
O vetor (matriz) é v=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[2pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
A pergunta é: quais são as quatro coordenadas de v relativas a essa base ordenada \mathcal{B}?]
Passo 2
Estratégia (explicação didática): coordenadas de v numa base ordenada significam achar escalares c_1,c_2,c_3,c_4 tais que v=c_1 b_1+c_2 b_2+c_3 b_3+c_4 b_4. Isso é possível porque \mathcal{B} é uma base (assume-se que seus vetores geram o espaço). Em prática, escrevemos essa combinação linear e igualamos as entradas correspondentes das matrizes (duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes forem iguais).
Explicando cada entrada: elemento (1,1) vem só de c_1; elemento (1,2) vem de c_2 (de b_2) e de c_4 (de b_4), somando c_2+c_4; elemento (2,1) vem só de c_2; elemento (2,2) vem só de c_3.]
Passo 5
Agora iguale essa matriz à matriz v dada e forme equações para as incógnitas: