Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor v \in V em relação à base \mathcal{B} em cada caso:
V=M_{2 \times 2}, v=\left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\\\ -1 & 2\end{array}\right] e \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]\right\};

Passo 1

O enunciado pede: "Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor v em relação à base \mathcal{B}". Os dados fornecidos são:
  • O espaço vetorial é V=M_{2\times2}.
  • O vetor (matriz) é v=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[2pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
  • A base ordenada \mathcal{B} é \mathcal{B}=\left\{\,b_1=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix},\; b_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix},\; b_3=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix},\; b_4=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix}\,\right\}.
A pergunta é: quais são as quatro coordenadas de v relativas a essa base ordenada \mathcal{B}?]

Passo 2

Estratégia (explicação didática): coordenadas de v numa base ordenada significam achar escalares c_1,c_2,c_3,c_4 tais que v=c_1 b_1+c_2 b_2+c_3 b_3+c_4 b_4. Isso é possível porque \mathcal{B} é uma base (assume-se que seus vetores geram o espaço). Em prática, escrevemos essa combinação linear e igualamos as entradas correspondentes das matrizes (duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes forem iguais).

Passo 3

Escrevendo a combinação linear com incógnitas:
c_1\begin{pmatrix}1 & 0 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}0 & 1 \\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix}0 & 0 \\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix} + c_4\begin{pmatrix}0 & 1 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcule a soma símbolo a símbolo (somando entrada a entrada). A combinação acima resulta na matriz
\begin{pmatrix} c_1 & c_2 + c_4 \\[2pt] c_2 & c_3 \end{pmatrix}.
Explicando cada entrada: elemento (1,1) vem só de c_1; elemento (1,2) vem de c_2 (de b_2) e de c_4 (de b_4), somando c_2+c_4; elemento (2,1) vem só de c_2; elemento (2,2) vem só de c_3.]

Passo 5

Agora iguale essa matriz à matriz v dada e forme equações para as incógnitas:
\begin{pmatrix} c_1 & c_2 + c_4 \\[2pt] c_2 & c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[2pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema (entrada a entrada):
c_1 = 2,
c_2 = -1,
c_3 = 2,
c_2 + c_4 = 3.]

Passo 6

Resolva as equações na ordem conveniente:
  • Da primeira: c_1=2.
  • Da segunda: c_2=-1.
  • Da terceira: c_3=2.
  • Da quarta: substituindo c_2=-1 temos -1 + c_4 = 3, então c_4 = 4.
Portanto os coeficientes são c_1=2, c_2=-1, c_3=2, c_4=4.

Passo 7

Verificação rápida (reconstrução): calcule a combinação com esses valores:
2\begin{pmatrix}1 & 0 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix} + (-1)\begin{pmatrix}0 & 1 \\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}0 & 0 \\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix} + 4\begin{pmatrix}0 & 1 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & (-1)+4 \\[2pt] -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\[2pt] -1 & 2\end{pmatrix},
que é exatamente v. Assim as coordenadas estão corretas. Observação didática final: as coordenadas relativas a uma base ordenada são únicas.]

Resposta

(2,-1,2,4)

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