Os componentes de enxofre causam “odores estranhos” no vinho, de modo que os fabricantes de vinho querem saber o limiar de odor - ou seja, a menor concentração de um composto que o olfato de um ser humano pode detectar. O limiar de odor para o dimetilsulfeto (DMS) em provadores de vinho treinados é de aproximadamente 25 microgramas por litro de vinho ( \mu g / L ). Contudo, o olfato de consumidores não treinados pode ser menos sensível. Apresentamos os limiares de odor para o DMS de 10 estudantes não treinados: 30,30,42,35,22,33,31,29,19, 23. Dê um intervalo de confiança de 95 \% para o limiar médio de odor para o DMS entre todos os estudantes. Interprete o IC encontrado.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 95\% para o limiar médio de odor do dimetilsulfeto (DMS) entre estudantes não treinados.
Dados fornecidos (limiares em \mu g/L): \;30,\;30,\;42,\;35,\;22,\;33,\;31,\;29,\;19,\;23.
Pergunta clara: construir um intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira \mu desse grupo e interpretar o resultado.

Passo 2

Qual método usar? Temos uma amostra pequena ( n=10) e não foi dada a variância populacional. Nesse caso usamos o intervalo de confiança para a média baseado na distribuição t com n-1 graus de liberdade. Vou seguir o procedimento padrão:
  1. calcular a média amostral \bar{x} e o desvio-padrão amostral s;
  2. calcular o erro padrão SE = s/\sqrt{n};
  3. pegar o quantil t_{0{,}975,\;n-1} (porque IC de 95\%);
  4. formar o intervalo \bar{x}\pm t_{0{,}975,\;n-1}\cdot SE.
    Também vamos verificar brevemente as suposições: a fórmula assume que os limiares vêm de uma distribuição aproximadamente normal (ou que a amostra não tem outliers extremos). Com n=10 a normalidade é importante — mais adiante comento sobre isso.

Passo 3

Calcular a média amostral. Soma dos valores:
30+30+42+35+22+33+31+29+19+23 = 294.
A média amostral é
\bar{x}=\frac{294}{10}=29{,}4\\ \mu g/L.

Passo 4

Calcular o desvio-padrão amostral s. Primeiro as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados (vou mostrar cada termo para ficar bem claro):
\begin{aligned} 30-29{,}4 &= 0{,}6,\quad (0{,}6)^2=0{,}36,\\\\ 30-29{,}4 &= 0{,}6,\quad (0{,}6)^2=0{,}36,\\\\ 42-29{,}4 &= 12{,}6,\quad (12{,}6)^2=158{,}76,\\\\ 35-29{,}4 &= 5{,}6,\quad (5{,}6)^2=31{,}36,\\\\ 22-29{,}4 &= -7{,}4,\quad (-7{,}4)^2=54{,}76,\\\\ 33-29{,}4 &= 3{,}6,\quad (3{,}6)^2=12{,}96,\\\\ 31-29{,}4 &= 1{,}6,\quad (1{,}6)^2=2{,}56,\\\\ 29-29{,}4 &= -0{,}4,\quad (-0{,}4)^2=0{,}16,\\\\ 19-29{,}4 &= -10{,}4,\quad (-10{,}4)^2=108{,}16,\\\\ 23-29{,}4 &= -6{,}4,\quad (-6{,}4)^2=40{,}96. \end{aligned}
Somando os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2=410{,}4.
A variância amostral é
s^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{410{,}4}{9}=45{,}6.
Portanto o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{45{,}6}\approx 6{,}75\\ \mu g/L.

Passo 5

Calcular o erro padrão da média:
SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{6{,}75}{\sqrt{10}}\approx \frac{6{,}75}{3{,}1623}\approx 2{,}14\\ \mu g/L.
Aqui o SE mede quanto, em média, a média amostral \bar{x} varia de uma amostra para outra.

Passo 6

Encontrar o quantil t. Para um intervalo de confiança de 95\% e n-1=9 graus de liberdade, o valor crítico da distribuição t é
t_{0{,}975,\;9}\approx 2{,}262.
Esse número vem da tabela da t-Student: é o valor tal que P(T\le t_{0{,}975,9})=0{,}975.

Passo 7

Calcular a margem de erro:
\text{margem}=t_{0{,}975,9}\cdot SE\approx 2{,}262\cdot 2{,}14\approx 4{,}83\\ \mu g/L.
Formar o intervalo:
\bar{x}\pm \text{margem} \Rightarrow 29{,}4 \pm 4{,}83.
Calculando as extremidades:
\text{limite inferior}=29{,}4-4{,}83\approx 24{,}6\\ \mu g/L,
\text{limite superior}=29{,}4+4{,}83\approx 34{,}2\\ \mu g/L.
Assim o intervalo de confiança de 95\% é aproximadamente (24{,}6,\;34{,}2)\\ \mu g/L.

Passo 8

Interpretação em linguagem simples e responsável: dizer que “estamos 95\% confiantes” significa que se repetíssemos muitas vezes o processo de tirar amostras de 10 estudantes e construíssemos um intervalo de confiança da mesma forma, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional \mu do limiar de odor para estudantes não treinados. Para este conjunto de dados, o valor plausível para a média verdadeira está entre (24{,}6,\;34{,}2)\\ \mu g/L.
Observações e advertências: a conclusão assume que a amostra é representativa (ou seja, retirada aleatoriamente do alvo) e que os valores não violam fortemente a hipótese de distribuição aproximadamente normal (com n=10 essa suposição é importante). Há alguns valores extremos relativos (por exemplo 19 e 42), mas nada impossivelmente discrepante; se suspeitar de não normalidade forte, recomenda-se amostras maiores ou métodos não paramétricos.

Passo 9

Dica prática para a prova (passo a passo curto):
  1. calcule \bar{x} e s; 2. calcule SE=s/\sqrt{n}; 3. leia t_{0{,}975,n-1} na tabela; 4. faça \bar{x}\pm t\cdot SE. Guarda essa receita — ela resolve a maioria dos problemas de IC para média com n pequeno.

Resposta

(24{,}6,\;34{,}2)\\ \mu g/L

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