(Valor 1,5 ) Vou aplicar R \ 1.000,00 hoje. Quanto terei em exatos 3 anos, a uma taxa de2 %$ ao mês (juros compostos)?

Passo 1

O enunciado diz que eu vou aplicar R\$\,1.000,00 hoje e quer saber quanto terei em exatos 3 anos, à taxa de 2\% ao mês com capitalização composta.\n
Dados fornecidos:
P = R\$\,1.000{,}00
\text{taxa mensal } i = 2\% = 0{,}02
\text{tempo } = 3\\ \text{anos}
Não há mais informações. A pergunta é: qual será o montante (valor futuro) após 3 anos?

Passo 2

Vou explicar a fórmula dos juros compostos (a lei de formação) de maneira bem passo a passo.\n
Imagine que eu aplico P hoje. Depois de um mês, com juros de i por mês, o capital vira P(1+i) porque o montante é o capital mais os juros daquele mês.\n
Depois de dois meses, esses juros também rendem, então o montante será
P(1+i)(1+i)=P(1+i)^2.
Continuando esse raciocínio, após n períodos (meses) o montante é
M = P(1+i)^n.
Explicando as letras:
  • M é o montante (valor que terei ao final);
  • P é o principal ou capital inicial;
  • i é a taxa por período (em forma decimal);
  • n é o número de períodos (meses, no nosso caso).

Passo 3

Converter tempo para o mesmo período da taxa: a taxa é mensal, então eu conto meses.\n
3\\ \text{anos} = 3\times 12 = 36\\ \text{meses},
portanto n=36.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula dos juros compostos:
M = P(1+i)^n = 1000\cdot (1+0{,}02)^{36} = 1000\cdot (1{,}02)^{36}.
Agora preciso calcular (1{,}02)^{36}.

Passo 5

Como calcular (1{,}02)^{36} sem pular etapas: uma forma organizada é usar potências já conhecidas e propriedades de expoentes. Uma boa escolha é notar que
(1{,}02)^{36} = \big((1{,}02)^{12}\big)^3.
Vou calcular (1{,}02)^{6}, depois (1{,}02)^{12} = \big((1{,}02)^{6}\big)^2, e por fim elevar ao cubo.\n
Cálculo passo a passo (com arredondamentos controlados para não perder precisão):
(1{,}02)^1 = 1{,}02
(1{,}02)^2 = 1{,}02^2 = 1{,}0404
(1{,}02)^3 = 1{,}0404\cdot 1{,}02 = 1{,}061208
(1{,}02)^4 = 1{,}061208\cdot 1{,}02 = 1{,}08243216
(1{,}02)^5 = 1{,}08243216\cdot 1{,}02 = 1{,}1040808032
(1{,}02)^6 = 1{,}1040808032\cdot 1{,}02 = 1{,}126162419264
Agora (1{,}02)^{12} = \big(1{,}126162419264\big)^2. Calculando (arredondando onde faz sentido):
(1{,}02)^{12} \approx 1{,}268241795\quad(\text{valor aproximado com boa precisão})ã
Por fim
(1{,}02)^{36} = \big((1{,}02)^{12}\big)^3 \approx 1{,}268241795^{3} \approx 2{,}039887.
(Se preferir outro caminho: também dá para usar logaritmos ou repetidas multiplicações/exponenciação por quadratura; todos chegam ao mesmo valor aproximado.)

Passo 6

Agora calculo o montante multiplicando por 1000:
M = 1000\cdot (1{,}02)^{36} \approx 1000\cdot 2{,}039887 = 2039{,}887.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), o valor fica
M \approx R\$\,2.039{,}89.

Resposta

R\$\,2.039{,}89

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