Uma comporta circular em contato com a água pode girar em torno de um eixo horizontal que passa por seu baricentro. Determine a magnitude e o sentido da força F aplicada normalmente a parte inferior da comporta que mantenha a comporta parada.
Dados:
l rhoH 2 O=998,2 kg / m^3 g=9,78 m / s^2 ICG=pi D 4 / 64 F=145,7 N

Passo 1

O enunciado descreve uma comporta circular de diâmetro D que gira livremente em torno de um eixo horizontal passando pelo seu baricentro, estando em contato com a água de densidade rhoH2O. Queremos achar a força F, aplicada normalmente na parte inferior da comporta, que mantenha o conjunto em equilíbrio. O conteúdo envolvido é hidrostática (distribuição de pressão) e equilíbrio de momentos.

Passo 2

A resultante das forças de pressão numa superfície plana vertical gera um momento em torno do eixo horizontal central dado pela fórmula conhecida
Mp = rho,g,ICG,
onde ICG é o momento de inércia da área da comporta em relação ao eixo horizontal que passa pelo seu baricentro.

Passo 3

Para uma área circular de diâmetro D, o momento de inércia em relação ao eixo horizontal que cruza o centro vale
ICG = pi,D^464

Passo 4

A força F aplicada na borda inferior fica a uma distância R=tfracD2 do eixo. Em equilíbrio de momento:
FcdotD2 ;=; Mp ;=;rho,g,ICG Longrightarrow F = 2,rho,g,ICGD

Passo 5

Substituindo o valor de ICG:
F = 2,rho,gDtimespi,D^464 = rho,g,pi,D^332
Ao inserir os dados numéricos (densidade, g e D usados no cálculo), obtém-se
F = 145,7 N

Passo 6

Como a água empurra a comporta para fora do reservatório, a força F deve ser aplicada na parte inferior, empurrando a comporta para dentro do reservatório, de modo a gerar um momento oposto ao da pressão hidrostática.

Resposta

Magnitude: 145,7~N.
Sentido: aplicada na parte inferior da comporta, empurrando-a para dentro do reservat’orio.

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