Uma comporta circular, com diâmetro
, esta instalada em uma barragem de óleo (
) a 7 metros de profundidade. Calcular o empuxo resultante e o seu ponto de aplicação.
Passo 1
O enunciado dá uma comporta circular vertical e pede duas coisas: o empuxo (força hidrostática resultante) sobre a superfície e o ponto de aplicação dessa força. Dados fornecidos:
Observações retiradas do enunciado: a comporta é circular e está numa posição vertical; o valor
refere-se à profundidade do centróide da superfície circular. O que pedimos:
- empuxo resultante (magnitude da força).
- posição do ponto de aplicação (profundidade, medida a partir da superfície livre).
Passo 2
Conceito e fórmula usada (aula rápida e sem pânico):
- A pressão hidrostática em uma profundidade
é dada por . Aqui é o peso específico do fluido (unidade usamos kgf para força). - Para uma superfície plana vertical imersa, a força resultante (empuxo) é igual à pressão no centróide vezes a área:
onde
é a profundidade do centróide e
é a área da superfície.
- O ponto de aplicação (centro de pressão) fica abaixo do centróide; a profundidade do centro de pressão é
onde
é o momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide (e paralelo à superfície livre). Vou mostrar como calcular cada termo para o círculo.
Passo 3
Calcular raio e área da comporta:
Área do círculo:
Valor numérico aproximado (para contas no lápis):
(guardei 6 casas para minimizar arredondamento).
Passo 4
Calcular o empuxo resultante usando
.
Substituindo:
Substituindo:
Faço em duas etapas:
Portanto o empuxo é aproximadamente
. Como referência, se quiser em newtons (1,kgf = 9,80665,N):
Mas como
foi dado em
, o resultado natural é em
.
Passo 5
Agora o ponto de aplicação: precisamos de
(momento de inércia da área do círculo em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide). Para um círculo de raio
:
Explicando:
mede a “distribuição” da área em relação ao eixo; para formas padrão existe fórmula pronta — para círculo essa é a fórmula. Substituindo
:
Valor numérico:
Passo 6
Calcular a profundidade do centro de pressão com
Já temos
,
e
.
Calculo do denominador:
Calculo do denominador:
Agora a fração:
Logo
Interpretação prática: o centro de pressão está aproximadamente
(ou
) abaixo do centróide da comporta. Isso faz sentido físico: para superfícies simétricas e pequenas, o deslocamento é pequeno quando a profundidade é grande.
Passo 7
Resumo numérico com arredondamento razoável:
- Empuxo:
(ou ). - Ponto de aplicação (profundidade a partir da superfície livre):
. - Deslocamento abaixo do centróide:
.