Uma comporta circular, com diâmetro D=1,0 \mathrm{~m}, esta instalada em uma barragem de óleo ( \gamma=900 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3} ) a 7 metros de profundidade. Calcular o empuxo resultante e o seu ponto de aplicação.

Passo 1

O enunciado dá uma comporta circular vertical e pede duas coisas: o empuxo (força hidrostática resultante) sobre a superfície e o ponto de aplicação dessa força. Dados fornecidos:
D=1,0\\ \mathrm{m}
\gamma=900\\ \mathrm{kgf/m^{3}}
\text{profundidade do centro da comporta (distância da superfície livre até o centróide)}\,=7,0\\ \mathrm{m}âíéó
Observações retiradas do enunciado: a comporta é circular e está numa posição vertical; o valor 7,0\\ \mathrm{m} refere-se à profundidade do centróide da superfície circular. O que pedimos:
  • empuxo resultante (magnitude da força).
  • posição do ponto de aplicação (profundidade, medida a partir da superfície livre).

Passo 2

Conceito e fórmula usada (aula rápida e sem pânico):
  • A pressão hidrostática em uma profundidade h é dada por \,p=\gamma h\,. Aqui \gamma é o peso específico do fluido (unidade \mathrm{kgf/m^{3}} usamos kgf para força).
  • Para uma superfície plana vertical imersa, a força resultante (empuxo) é igual à pressão no centróide vezes a área:
F = p_{c}\,A = \gamma\,h_{c}\,A
onde h_{c} é a profundidade do centróide e A é a área da superfície.
  • O ponto de aplicação (centro de pressão) fica abaixo do centróide; a profundidade do centro de pressão é
h_{p} = h_{c} + \frac{I_{c}}{h_{c}\,A}
onde I_{c} é o momento de inércia da área em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide (e paralelo à superfície livre). Vou mostrar como calcular cada termo para o círculo.

Passo 3

Calcular raio e área da comporta:
R=\frac{D}{2}=\frac{1,0}{2}=0,5\\ \mathrm{m}
Área do círculo:
A=\pi R^{2}=\pi(0,5)^{2}=\pi\cdot 0,25=0,25\pi\\ \mathrm{m^{2}}
Valor numérico aproximado (para contas no lápis):
A\approx 0,785398\\ \mathrm{m^{2}}
(guardei 6 casas para minimizar arredondamento).

Passo 4

Calcular o empuxo resultante usando F=\gamma h_{c} A.
Substituindo:
F = 900\cdot 7,0 \cdot 0,25\pi
Faço em duas etapas:
900\cdot 7,0 = 6300
F = 6300\cdot 0,25\pi = 6300\cdot 0,785398\approx 4948,008\\ \mathrm{kgf}
Portanto o empuxo é aproximadamente \,4948,0\\ \mathrm{kgf}. Como referência, se quiser em newtons (1,kgf = 9,80665,N):
F \approx 4948,008\cdot 9,80665 \approx 48523\\ \mathrm{N}
Mas como \gamma foi dado em \mathrm{kgf/m^{3}}, o resultado natural é em \mathrm{kgf}.

Passo 5

Agora o ponto de aplicação: precisamos de I_{c} (momento de inércia da área do círculo em relação ao eixo horizontal que passa pelo centróide). Para um círculo de raio R:
I_{c}=\frac{\pi R^{4}}{4}
Explicando: I_{c} mede a “distribuição” da área em relação ao eixo; para formas padrão existe fórmula pronta — para círculo essa é a fórmula. Substituindo R=0,5\\ \mathrm{m}:
I_{c}=\frac{\pi (0,5)^{4}}{4}=\frac{\pi\cdot 0,0625}{4}=\pi\cdot 0,015625
Valor numérico:
I_{c}\approx 0,049087\\ \mathrm{m^{4}}

Passo 6

Calcular a profundidade do centro de pressão com
h_{p}=h_{c}+\frac{I_{c}}{h_{c}A}
Já temos h_{c}=7,0\\ \mathrm{m}, I_{c}\approx 0,049087\\ \mathrm{m^{4}} e A\approx 0,785398\\ \mathrm{m^{2}}.
Calculo do denominador:
h_{c}A = 7,0\cdot 0,785398 \approx 5,497786\\ \mathrm{m^{3}}
Agora a fração:
\frac{I_{c}}{h_{c}A} \approx \frac{0,049087}{5,497786} \approx 0,00893\\ \mathrm{m}
Logo
h_{p}=7,0 + 0,00893 \approx 7,00893\\ \mathrm{m}
Interpretação prática: o centro de pressão está aproximadamente 0,00893\\ \mathrm{m} (ou 8,93\\ \mathrm{mm}) abaixo do centróide da comporta. Isso faz sentido físico: para superfícies simétricas e pequenas, o deslocamento é pequeno quando a profundidade é grande.

Passo 7

Resumo numérico com arredondamento razoável:
  • Empuxo: \,F\approx 4948,0\\ \mathrm{kgf} (ou \approx 48{,}5\\ \mathrm{kN}).
  • Ponto de aplicação (profundidade a partir da superfície livre): \,h_{p}\approx 7{,}00893\\ \mathrm{m}.
  • Deslocamento abaixo do centróide: \,h_{p}-h_{c}\approx 0{,}00893\\ \mathrm{m}=8{,}93\\ \mathrm{mm}.

Resposta

F\approx 4948,0\\ \mathrm{kgf}
h_{p}\approx 7{,}00893\\ \mathrm{m} (profundidade da superfície livre até o ponto de aplicação; está 0{,}00893\\ \mathrm{m} abaixo do centróide)

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