4 Demonstrar que a funçāo
satisfal a equação
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para demonstrar que ela satisfaz a equação
Informações relevantes que já temos (tudo vem do enunciado):
-
é uma constante (assumimos para que esteja bem definida). -
é uma função de uma variável (assumimos diferenciável) e seu argumento é . - A incógnita é
. Nosso objetivo é calcular e , substituir na equação dada e verificar se a expressão resultante é identicamente zero (ou obter a condição necessária para que seja zero). - Não vamos assumir conhecimento prévio do leitor: vamos aplicar e explicar passo a passo as regras de derivação (regra do produto, regra da cadeia, derivada de
, etc.).
Passo 2
Para simplificar a escrita e facilitar a aplicação da regra da cadeia, introduzo a notação
Então podemos escrever
Explicando a ideia: aplicar a regra da cadeia fica mais claro se tratarmos
como função de uma única variável
. Depois calculamos
e
e usamos essas derivadas para obter
e
.
Passo 3
Calculo de
.
Começo escrevendo
com
. A derivada parcial de
em relação a
é
Usando produto e cadeia em
, temos
Simplificando fatores de
,
Como
(porque
), também podemos escrever, em termos de
,
Passo 4
Calculo de
.
Ainda com
e
, primeiro calcule a derivada de
em relação a
:
Aplicando produto e cadeia em
,
Agrupando termos,
Usando
obtemos em termos de
:
Passo 5
Agora calculamos
e
. Lembremos das regras:
- Derivada de
em relação a é . - Regra da cadeia:
.
Derivada parcial em
:
é constante em
, então
Substituindo
(forma em
),
Derivada parcial em
: aplicamos a regra do produto (porque
depende de
em dois fatores):
A primeira parcela é
. A segunda parcela é
. Assim
Substituindo
,
Passo 6
Substituição das derivadas na equação diferencial original.
A equação a verificar é
Substituo as expressões calculadas. Para ficar claro, fatorarei
em comum (ele é sempre diferente de zero):
Colhendo
em fator comum:
Passo 7
Simplificação interna do colchete. Trabalhando o termo entre corchetes que multiplica
:
Primeiro simplifico
.
Então o coeficiente de
fica
Coloco sobre denominador comum
:
Fatorando
no numerador e reorganizando:
Mas é mais útil reescrever a forma anterior em termos do logaritmo do argumento
. Lembrando que
porque
. Usando essa identidade, uma forma conveniente do coeficiente é
(para confirmar: se expandirmos obtemos a mesma expressão algébrica; esta escrita é útil porque já mostra uma combinação que envolve
.)
Voltando ao colchete da expressão total, obtemos
Passo 8
Interpretação final e condição para que a equação seja satisfeita.
A expressão acima mostra que
onde
.
Para que
satisfaça a equação dada (i.e. para que a expressão à esquerda seja identicamente zero para todos
no domínio), o fator entre colchetes deve ser identicamente zero:
Note que essa condição envolve
e
através de
e também através de
separado; usando
podemos reescrever a condição em termos de
e
, mas mesmo assim aparece dependência explícita de
. Portanto, em geral:
- se o objetivo for que a igualdade valha para toda função arbitrária
, isto não é possível a menos de escolhas específicas de e ; - a expressão acima dá a forma explícita da combinação que deve anular-se; para valores particulares de
e (ou de ) a igualdade se verifica.
Resposta
com
. Portanto a equação é satisfeita exatamente quando
para todos
considerados.