Uma comporta plana semicircular AB é articulada ao longo de B e suportada pela força horizontal FA aplicada em A. O líquido à esquerda da comporta é água. Observe que a área da comporta é semicircular. Determine:
a) A força que a água exerce na comporta, en kN(1,0 ponto )
Dados: R=3 m ; H=8 m ; rho agua =10^3 kg / m^3, g=9,81 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estática envolvendo uma comporta plana semicircular articulada em $ B $ e suportada por uma força horizontal $ F_A $ em $ A $. O líquido do lado esquerdo é água. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força que a água exerce na comporta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática e hidrostática, especialmente como calcular a força exercida por um fluido em uma superfície. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a força exercida pela água na comporta não é uniforme. A pressão da água aumenta com a profundidade, então a força total será a soma de todas essas pequenas forças distribuídas pela área da comporta. Para calcular isso, usamos a fórmula da força hidrostática:
F = rho cdot g cdot m cdot A
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade da água,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ m $ é a massa,
  • $ A $ é a área.
Mas, no caso da força total sobre uma superfície submersa, a fórmula é um pouco diferente. A força hidrostática total $ F $ pode ser calculada pela integral da pressão sobre a área:
rho

Passo 3

A pressão $ p $ em um ponto da comporta depende da profundidade $ h $ desse ponto:
p
Para uma comporta semicircular, a profundidade varia de 0 até $ H $. Como a comporta é semicircular, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 4

Vamos parametrizar a semicirculação com raio $ R $ e altura $ H $. A relação geométrica entre $ R $ e $ H $ pode ser usada para expressar $ h $ em termos do ângulo $ \theta $:
R
Onde $ \theta $ varia de 0 a $ \pi $.

Passo 5

A área diferencial $ dA $ em coordenadas polares é dada por:
dA
Agora, substituímos $ p $ e $ dA $ na fórmula da força total:

Passo 6

Simplificando a expressão:
F = rho cdot g cdot R^2 integral0^pi (1 - costheta) cdot dtheta
Resolvendo a integral:
integral0^pi (1 - costheta) cdot dtheta = pi - 0 = pi
Então:
F = rho cdot g cdot R^2 cdot pi

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores numéricos fornecidos:
rho = 10^3 , kg/m^3, g = 9,81 , m/s^2, R = 3 , m
F = 10^3 cdot 9,81 cdot 3^2 cdot pi = 10^3 cdot 9,81 cdot 9 cdot pi
F = 10^3 cdot 88,29 cdot pi approx 10^3 cdot 277,77 = 277770 , N
Convertendo para kN:
277770 , N = 277,770 , kN

Resposta

A força que a água exerce na comporta é aproximadamente $ 277,8 , kN $.

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