Uma comporta plana semicircular
é articulada ao longo de
e suportada pela força horizontal
aplicada em A. O líquido à esquerda da comporta é água. Observe que a área da comporta é semicircular. Determine:
a) A força que a água exerce na comporta, en
ponto
Dados:
.
a) A força que a água exerce na comporta, en
Dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de estática envolvendo uma comporta plana semicircular articulada em $ B $ e suportada por uma força horizontal $ F_A $ em $ A $. O líquido do lado esquerdo é água. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força que a água exerce na comporta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática e hidrostática, especialmente como calcular a força exercida por um fluido em uma superfície. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a força exercida pela água na comporta não é uniforme. A pressão da água aumenta com a profundidade, então a força total será a soma de todas essas pequenas forças distribuídas pela área da comporta. Para calcular isso, usamos a fórmula da força hidrostática:
Onde:
- $ \rho $ é a densidade da água,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ m $ é a massa,
- $ A $ é a área.
Mas, no caso da força total sobre uma superfície submersa, a fórmula é um pouco diferente. A força hidrostática total $ F $ pode ser calculada pela integral da pressão sobre a área:
Passo 3
A pressão $ p $ em um ponto da comporta depende da profundidade $ h $ desse ponto:
Para uma comporta semicircular, a profundidade varia de 0 até $ H $. Como a comporta é semicircular, vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
Passo 4
Vamos parametrizar a semicirculação com raio $ R $ e altura $ H $. A relação geométrica entre $ R $ e $ H $ pode ser usada para expressar $ h $ em termos do ângulo $ \theta $:
Onde $ \theta $ varia de 0 a $ \pi $.
Passo 5
A área diferencial $ dA $ em coordenadas polares é dada por:
Agora, substituímos $ p $ e $ dA $ na fórmula da força total:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resolvendo a integral:
Então:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores numéricos fornecidos:
Convertendo para kN:
Resposta
A força que a água exerce na comporta é aproximadamente $ 277,8 , kN $.