Uma comporta plana semicircular
é articulada ao longo de
e suportada pela força horizontal
aplicada em A. O líquido à esquerda da comporta é água. Observe que a área da comporta é semicircular. Determine:
b) O valor da força
requerida para o equilibrio, em kN . (1,0 ponto)
Dados:
.
b) O valor da força
Dados:
Passo 1
Beleza, vamos falar desse exercício de estática de fluidos. A gente tem uma comporta plana em forma de semicírculo de raio R = 3 m, articulada em B e presa por uma força horizontal F_A em A. O reservatório de água chega até uma altura H = 8 m acima de uma referência qualquer (o enunciado dá H, que a gente vai usar como profundidade típica). Precisamos achar o valor de F_A (em kN) para manter tudo em equilíbrio.
Conteúdo: força hidrostática em superfície curva (horizontal), que é igual à força em sua projeção vertical.
Conteúdo: força hidrostática em superfície curva (horizontal), que é igual à força em sua projeção vertical.
Passo 2
Teoria rapidinha:
- A pressão na profundidade y (medida a partir da superfície livre) é p = ρ g y.
- A resultante horizontal sobre uma superfície curva vale a resultante que você teria se aquela superfície fosse projetada num plano vertical.
- A magnitude dessa resultante é
onde
• é a área da projeção vertical da superfície curva,
• é a profundidade do centróide dessa área projetada.
•
•
Passo 3
Qual é a projeção vertical do nosso semicírculo?
Como o semicírculo está num plano vertical, a projeção dele num plano vertical paralelo a ele é ele mesmo. Mas estamos olhando só para a componente horizontal, então vale usar a “projeção” como sendo a largura total (diâmetro) vezes uma unidade de comprimento fora do plano. Ou seja,
Como o semicírculo está num plano vertical, a projeção dele num plano vertical paralelo a ele é ele mesmo. Mas estamos olhando só para a componente horizontal, então vale usar a “projeção” como sendo a largura total (diâmetro) vezes uma unidade de comprimento fora do plano. Ou seja,
Passo 4
Agora a profundidade do centróide dessa zona projetada. Na prática o diâmetro do semicírculo fica a uma profundidade típica “H” abaixo da superfície (esse H = 8 m que o enunciado deu). Vamos assumir que o centróide da projeção está a essa profundidade H:
Passo 5
Bora calcular F_H:
Fazendo a conta:
Passo 6
Em equilíbrio, toda essa força horizontal
precisa ser equilibrada por
(o pino em B não dá torque horizontal extra), então