Uma comporta plana semicircular AB é articulada ao longo de B e suportada pela força horizontal FA aplicada em A. O líquido à esquerda da comporta é água. Observe que a área da comporta é semicircular. Determine:
b) O valor da força FA requerida para o equilibrio, em kN . (1,0 ponto)
Dados: R=3 m ; H=8 m ; rho agua =10^3 kg / m^3, g=9,81 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos falar desse exercício de estática de fluidos. A gente tem uma comporta plana em forma de semicírculo de raio R = 3 m, articulada em B e presa por uma força horizontal F_A em A. O reservatório de água chega até uma altura H = 8 m acima de uma referência qualquer (o enunciado dá H, que a gente vai usar como profundidade típica). Precisamos achar o valor de F_A (em kN) para manter tudo em equilíbrio.
Conteúdo: força hidrostática em superfície curva (horizontal), que é igual à força em sua projeção vertical.

Passo 2

Teoria rapidinha:
  • A pressão na profundidade y (medida a partir da superfície livre) é p = ρ g y.
  • A resultante horizontal sobre uma superfície curva vale a resultante que você teria se aquela superfície fosse projetada num plano vertical.
  • A magnitude dessa resultante é
FH ;=;rho,g,Arm proj,bar y
onde
é a área da projeção vertical da superfície curva,
é a profundidade do centróide dessa área projetada.

Passo 3

Qual é a projeção vertical do nosso semicírculo?
Como o semicírculo está num plano vertical, a projeção dele num plano vertical paralelo a ele é ele mesmo. Mas estamos olhando só para a componente horizontal, então vale usar a “projeção” como sendo a largura total (diâmetro) vezes uma unidade de comprimento fora do plano. Ou seja,
Arm proj = (2R)times 1 = 2cdot3;[m]times1;[m] = 6;m^2

Passo 4

Agora a profundidade do centróide dessa zona projetada. Na prática o diâmetro do semicírculo fica a uma profundidade típica “H” abaixo da superfície (esse H = 8 m que o enunciado deu). Vamos assumir que o centróide da projeção está a essa profundidade H:
bar y = H = 8;m

Passo 5

Bora calcular F_H:
FH = rho,g,Arm proj,bar y = (1,0times10^3;tfrackgm^3) ,(9,81;tfracms^2) ,(6;m^2) ,(8;m)
Fazendo a conta:
FH = 1000cdot9,81cdot6cdot8 = 470,880;N approx 4,71times10^5;N

Passo 6

Em equilíbrio, toda essa força horizontal FA = FH = 470,880;Napprox 471;kN precisa ser equilibrada por (o pino em B não dá torque horizontal extra), então

Resposta

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