É necessário bombear água à uma dada vazão
, a partir de uma bomba, com uma pressão manométrica
, e descarregando à pressão atmosférica, a uma distância total de
. Os diametros internos das tubulações são
e
, Se possivel, determine os valores dos comprimentos
e
. Considere tubos de ferro fundido
. Pode-se utilizar
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que bombear água com uma vazão de $ Q = 1 \times 10^{-3} , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $ usando uma bomba que gera uma pressão manométrica de $ P_r = 220 , \mathrm{kPa} $. A água será descarregada na pressão atmosférica após percorrer uma distância total de $ 20 , \mathrm{m} $. As tubulações envolvidas têm diâmetros internos de $ D = 26,64 , \mathrm{mm} $ e $ d = 20,93 , \mathrm{mm} $, e são feitas de ferro fundido com rugosidade $ \varepsilon = 0,26 , \mathrm{mm} $. Precisamos determinar os comprimentos $ L $ e $ \ell $ dessas tubulações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica, especialmente relacionados à perda de carga por atrito nas tubulações.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional para facilitar os cálculos.
- Vazão: $ Q = 1 \times 10^{-3} , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $
- Pressão manométrica: $ P_r = 220 , \mathrm{kPa} = 220 \times 10^{3} , \mathrm{Pa} $
- Diâmetros:
- $ D = 26,64 , \mathrm{mm} = 0,02664 , \mathrm{m} $
- $ d = 20,93 , \mathrm{mm} = 0,02093 , \mathrm{m} $
- Rugosidade: $ \varepsilon = 0,26 , \mathrm{mm} = 0,00026 , \mathrm{m} $
- Densidade da água: $ \rho = 1000 , \mathrm{kg/m}^3 $
Passo 3
Vamos assumir que a perda de carga total no sistema é igual à pressão fornecida pela bomba. A perda de carga ($ h_f
P $) pela fórmula:
onde $ g = 9,81 , \mathrm{m/s}^2 $ é a aceleração da gravidade.
Então, a perda de carga total é:
Passo 4
Sabemos que a perda de carga total é a soma das perdas nas duas tubulações:
Vamos calcular as perdas de carga em cada trecho usando a equação de Darcy-Weisbach:
onde:
- $ f $ é o fator de atrito,
- $ L $ é o comprimento da tubulação,
- $ D $ é o diâmetro interno,
- $ v $ é a velocidade do fluxo.
Passo 5
Primeiro, precisamos calcular a velocidade do fluxo ($ v $) em cada tubulação. A velocidade pode ser encontrada pela relação:
onde $ A $ é a área da seção transversal da tubulação. Calcularemos para ambos os diâmetros.
Para a tubulação com diâmetro $ D $:
Para a tubulação com diâmetro $ d $:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o fator de atrito $ f $ para cada tubulação. Podemos usar a equação de Colebrook-White, que relaciona $ f $, o número de Reynolds $ Re $ e a rugosidade relativa $ \frac{\varepsilon}{D} $:
Primeiro, vamos calcular o número de Reynolds para cada tubulação:
Assumindo que a viscosidade cinemática da água $ \nu \approx 1 \times 10^{-6} , \mathrm{m}^2/\mathrm{s} $, então a viscosidade dinâmica $ \mu = \rho \nu = 1000 \times 1 \times 10^{-6} = 0,001 , \mathrm{Pa \cdot s} $.
Para $ D $:
Para $ d $:
Como ambos os $ Re $ são maiores que 4000, o fluxo é turbulento, e podemos usar a equação de Colebrook-White para encontrar $ f $.
Passo 7
Vamos calcular $ f $ iterativamente ou utilizar uma aproximação. Para simplificar, usaremos uma aproximação comum para tubos turbulentos com rugosidade relativa baixa:
Para $ D $:
Para $ d $:
Passo 8
Agora, podemos calcular as perdas de carga em cada tubulação:
Para $ L $:
Para $ \ell $:
Passo 9
Sabemos que a perda de carga total é a soma das perdas nas duas tubulações:
Além disso, a distância total é:
Agora temos um sistema de duas equações:
Passo 10
Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação, podemos expressar $ \ell $ em função de $ L $:
Substituindo na primeira equação:
Isso não faz sentido, pois um comprimento negativo não é físico. Isso indica que provavelmente há um erro na aproximação do fator de atrito $ f $. Vamos reconsiderar a determinação de $ f $ usando a equação de Colebrook-White mais precisamente ou utilizar tabelas/fatores mais adequados. Contudo, para simplificação, vamos ajustar $ f $ para valores típicos em tubulações de água turbulentas, como $ f_D = 0,02 $ e $ f_d = 0,018 $, e refazer os cálculos.
Passo 11
Com $ f_D = 0,02 $ e $ f_d = 0,018 $, recalculamos as perdas de carga:
Agora, o sistema de equações fica:
Substituindo $ \ell = 20 - L $:
Ainda obtemos um valor negativo, indicando que as perdas de carga calculadas são muito menores que a pressão fornecida pela bomba, o que sugere uma inconsistência nos dados ou nas suposições feitas.
Resposta
Devido às inconsistências encontradas nos cálculos das perdas de carga em relação à pressão fornecida pela bomba, não é possível determinar valores físicos para os comprimentos $ L $ e $ \ell $ com os dados e métodos utilizados. Recomenda-se revisar os parâmetros do sistema ou utilizar métodos mais precisos para o cálculo dos fatores de atrito e das perdas de carga.