É necessário bombear água à uma dada vazão Q=1 times 10^-3[m^3 / s], a partir de uma bomba, com uma pressão manométrica Pr= 220[kPa], e descarregando à pressão atmosférica, a uma distância total de 20[m]. Os diametros internos das tubulações são D=26,64[mm] e d=20,93[mm], Se possivel, determine os valores dos comprimentos L e ell. Considere tubos de ferro fundido (varepsilon=0,26[mm]). Pode-se utilizar rho=1000[kg / m^3] cdot(3,0 pts)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que bombear água com uma vazão de $ Q = 1 \times 10^{-3} , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $ usando uma bomba que gera uma pressão manométrica de $ P_r = 220 , \mathrm{kPa} $. A água será descarregada na pressão atmosférica após percorrer uma distância total de $ 20 , \mathrm{m} $. As tubulações envolvidas têm diâmetros internos de $ D = 26,64 , \mathrm{mm} $ e $ d = 20,93 , \mathrm{mm} $, e são feitas de ferro fundido com rugosidade $ \varepsilon = 0,26 , \mathrm{mm} $. Precisamos determinar os comprimentos $ L $ e $ \ell $ dessas tubulações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica, especialmente relacionados à perda de carga por atrito nas tubulações.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional para facilitar os cálculos.
  • Vazão: $ Q = 1 \times 10^{-3} , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $
  • Pressão manométrica: $ P_r = 220 , \mathrm{kPa} = 220 \times 10^{3} , \mathrm{Pa} $
  • Diâmetros:
    • $ D = 26,64 , \mathrm{mm} = 0,02664 , \mathrm{m} $
    • $ d = 20,93 , \mathrm{mm} = 0,02093 , \mathrm{m} $
  • Rugosidade: $ \varepsilon = 0,26 , \mathrm{mm} = 0,00026 , \mathrm{m} $
  • Densidade da água: $ \rho = 1000 , \mathrm{kg/m}^3 $

Passo 3

Vamos assumir que a perda de carga total no sistema é igual à pressão fornecida pela bomba. A perda de carga ($ h_f hf àã P $) pela fórmula:
P
onde $ g = 9,81 , \mathrm{m/s}^2 $ é a aceleração da gravidade.
Então, a perda de carga total é:
hf = Prho g

Passo 4

Sabemos que a perda de carga total é a soma das perdas nas duas tubulações:
hf = hL + hell = 22,42 , m
Vamos calcular as perdas de carga em cada trecho usando a equação de Darcy-Weisbach:
h = f cdot LD cdot v^22g
onde:
  • $ f $ é o fator de atrito,
  • $ L $ é o comprimento da tubulação,
  • $ D $ é o diâmetro interno,
  • $ v $ é a velocidade do fluxo.

Passo 5

Primeiro, precisamos calcular a velocidade do fluxo ($ v $) em cada tubulação. A velocidade pode ser encontrada pela relação:
v
onde $ A $ é a área da seção transversal da tubulação. Calcularemos para ambos os diâmetros.
Para a tubulação com diâmetro $ D $:
v = QA
A
Para a tubulação com diâmetro $ d $:
D
AD = pi D^24 = pi (0,02664)^24 approx 0,000558 , m^2

Passo 6

Agora, precisamos determinar o fator de atrito $ f $ para cada tubulação. Podemos usar a equação de Colebrook-White, que relaciona $ f $, o número de Reynolds $ Re $ e a rugosidade relativa $ \frac{\varepsilon}{D} $:
f
Primeiro, vamos calcular o número de Reynolds para cada tubulação:
f
Assumindo que a viscosidade cinemática da água $ \nu \approx 1 \times 10^{-6} , \mathrm{m}^2/\mathrm{s} $, então a viscosidade dinâmica $ \mu = \rho \nu = 1000 \times 1 \times 10^{-6} = 0,001 , \mathrm{Pa \cdot s} $.
Para $ D $:
Re
Para $ d $:
varepsilonD
Como ambos os $ Re $ são maiores que 4000, o fluxo é turbulento, e podemos usar a equação de Colebrook-White para encontrar $ f $.

Passo 7

Vamos calcular $ f $ iterativamente ou utilizar uma aproximação. Para simplificar, usaremos uma aproximação comum para tubos turbulentos com rugosidade relativa baixa:
f
Para $ D $:
f approx 0,316 cdot Re^-0,25
Para $ d $:
D

Passo 8

Agora, podemos calcular as perdas de carga em cada tubulação:
Para $ L $:
L
hL = fD cdot LD cdot vD^22g = 0,0196 cdot L0,02664 cdot (1,793)^22 times 9,81
Para $ \ell $:
hL = 0,0196 cdot L0,02664 cdot 3,21619,62 approx 0,0196 cdot L0,02664 cdot 0,164 approx 0,000128 cdot L
ell

Passo 9

Sabemos que a perda de carga total é a soma das perdas nas duas tubulações:
hf = hL + hell = 0,000128 L + 0,000358 ell = 22,42 , m
Além disso, a distância total é:
L + ell = 20 , m
Agora temos um sistema de duas equações:
0,000128 L + 0,000358 ell = 22,42 L + ell = 20

Passo 10

Vamos resolver o sistema de equações. Da segunda equação, podemos expressar $ \ell $ em função de $ L $:
ell
Substituindo na primeira equação:
L
ell = 20 - L
0,000128 L + 0,000358 (20 - L) = 22,42
0,000128 L + 0,00716 - 0,000358 L = 22,42
-0,00023 L + 0,00716 = 22,42
-0,00023 L = 22,42 - 0,00716
Isso não faz sentido, pois um comprimento negativo não é físico. Isso indica que provavelmente há um erro na aproximação do fator de atrito $ f $. Vamos reconsiderar a determinação de $ f $ usando a equação de Colebrook-White mais precisamente ou utilizar tabelas/fatores mais adequados. Contudo, para simplificação, vamos ajustar $ f $ para valores típicos em tubulações de água turbulentas, como $ f_D = 0,02 $ e $ f_d = 0,018 $, e refazer os cálculos.

Passo 11

Com $ f_D = 0,02 $ e $ f_d = 0,018 $, recalculamos as perdas de carga:
fD = 0,02
fd = 0,018
Agora, o sistema de equações fica:
hL = 0,02 cdot L0,02664 cdot (1,793)^22 times 9,81 approx 0,02 cdot L0,02664 cdot 0,164 approx 0,000123 cdot L
Substituindo $ \ell = 20 - L $:
hell = 0,018 cdot ell0,02093 cdot (2,907)^22 times 9,81 approx 0,018 cdot ell0,02093 cdot 0,432 approx 0,000373 cdot ell
0,000123 L + 0,000373 ell = 22,42 L + ell = 20
ell = 20 - L
0,000123 L + 0,000373 (20 - L) = 22,42
0,000123 L + 0,00746 - 0,000373 L = 22,42
Ainda obtemos um valor negativo, indicando que as perdas de carga calculadas são muito menores que a pressão fornecida pela bomba, o que sugere uma inconsistência nos dados ou nas suposições feitas.

Resposta

Devido às inconsistências encontradas nos cálculos das perdas de carga em relação à pressão fornecida pela bomba, não é possível determinar valores físicos para os comprimentos $ L $ e $ \ell $ com os dados e métodos utilizados. Recomenda-se revisar os parâmetros do sistema ou utilizar métodos mais precisos para o cálculo dos fatores de atrito e das perdas de carga.

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