Uma comporta quadrada ( 4 m times 4 m ) está localizada na parede de uma barragem que apresenta inclinação igual a 45^circ. O lado superior da comporta está localizado a 8 m abaixo da superfície livre da água. Determine o módulo e o ponto de palicação da força com que a água atua na comporta.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma comporta quadrada 4 m×4 m numa parede de barragem inclinada 45°. A parte de cima da comporta está 8 m abaixo da superfície da água. A gente precisa achar:
  1. o módulo da força resultante da água sobre essa comporta;
  2. o ponto de aplicação dessa força (o centro de pressão).
Conteúdo:
  • Pressão hidrostática em superfície plana inclinada:
    p = ρ·g·h, onde h é a profundidade vertical até o ponto considerado.
  • Força total: F = ρ·g·A·h_c (h_c = profundidade do centróide).
  • Centro de pressão: profundidade do cp = h_c + I_x/(h_c·A), sendo I_x momento de inércia da área em torno de um eixo horizontal pelo centróide.
O que vamos precisar: densidade da água ρ=1000 kg/m³, g=9,81 m/s², área A=4·4 =16 m², momento de inércia de um retângulo b×L: I_x = b·L³/12.

Passo 2

Primeiro achamos a profundidade do centróide (h_c). Como a placa tem 4 m de “altura” ao longo do plano e está inclinada 45°, o centro está a 2 m do topo ao longo do plano.
Mas o que conta na pressão é a profundidade vertical:
h_c = 8 m + (2 m)·sin45°
\h_c = 8 + 2·0{,}7071 = 8 + 1{,}4142 ≈ 9{,}4142 m

Passo 3

Agora a força resultante é
F = ρ·g·A·h_c
Substituindo:
F = 1000·9{,}81·16·9{,}4142
F ≈ 1 478 300 N ≈ 1,48×10^6 N

Passo 4

Vamos achar o ponto de aplicação – o centro de pressão.
  1. Calcula I_x da área (eixo no centróide, horizontal):
    I_x = b·L³/12 = 4·4³/12 = 4·64/12 = 256/12 ≈ 21,333 m^4
  2. Profundidade do cp (vertical) é
    h_p = h_c + I_x/(h_c·A)
    h_p = 9,4142 + 21,333/(9,4142·16)
    h_p = 9,4142 + 21,333/150,627 ≈ 9,4142 + 0,1417 = 9,5559 m
  3. Mas a gente quer saber a distância ao longo da comporta a partir do seu topo.
    Primeiro, qual a “posição” do topo ao longo do plano medido da superfície livre?
    l_top = (8 m)/sin45° = 8/0,7071 ≈ 11,3137 m
    Então o centro de pressão ao longo do plano, contado da superfície, é
    l_p = h_p/sin45° = 9,5559/0,7071 ≈ 13,521 m
    E medindo a partir do topo da comporta:
    s = l_p – l_top = 13,521 – 11,3137 ≈ 2,207 m

Resposta

Força resultante: F ≈ 1,48×10^6 N
Ponto de aplicação: aproximadamente 2,21 m abaixo do topo da comporta, medido ao longo do plano inclinado.

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