Observaçōes . Todas as questōes devem conter hipoteses explicitadas. . Todas as questōes devem conter equacionamento detalhado. . Todas as questōes devem ser comentadas e resultados comparados.
Dado óleo escoa entre duas placas paralelas horizontais fixas. A queda de pressāo por unidade de comprimento ao longo do canal é de e a distância entre as superficies é de 4 mm . Suponha escoamento laminar. Qual a taxa volumétrica do escoamento (por metro de largura), a tensâo atuante e a velocidade ao longo da linha de central do canal? Valide a suposição adotada.
Dado:
(2,5ptos)
Passo 1
Breve resumo:
Temos óleo escorrendo em escoamento totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas fixas e horizontais separadas por . A perda de pressão é .
Conteúdo: escoamento laminar de um fluido newtoniano em canal de placas (fluxo de Poiseuille plano).
O que vamos precisar:
Hipóteses do modelo (Newtoniano, incompressível, regime permanente, escoamento totalmente desenvolvido, sem deslizamento nas paredes).
Equação de Navier–Stokes reduzida ao balanço de momento unidimensional:
Resolver essa EDO com condições de contorno .
Calcular (vazão por largura), tensão de cisalhamento na parede e velocidade máxima no centro.
Validar laminaridade via número de Reynolds.
Passo 2
Hipóteses explicitadas:
Fluido newtoniano (viscosidade constante ).
Incompressível e escoamento permanente.
Totalmente desenvolvido em (não varia a forma do perfil).
Sem deslizamento: e .
Balanço de momento em reduz a
Integrando duas vezes em :
BC ⇒ .
BC ⇒
Logo o perfil é
Como , convém usar para achar positivo:
Passo 3
Vazão por unidade de largura (m³/s por metro):
Substituindo , , :
Comentário: é um valor pequeno, típico de canais muito finos.
Passo 4
Tensão de cisalhamento na parede ():
Comentário: 40 Pa é a força por metro quadrado que o fluido “arrasta” na superfície.
Passo 5
Velocidade no centro ( umax=ul(H/2r) =-dp/dx2mu,H2l(H-H2r) =200002cdot0.38,0.002cdot0.002 approx0,105rm,m/s ):
Comentário: é bem lento, menos de 0,2 m/s.
Passo 6
Validando laminaridade pelo Reynolds (usar Re=rho,umax,Hmu =916cdot0.105cdot0.0040.38approx1,0ll2000, e altura ):
Logo a hipótese laminar está super segura.
Resposta
Vazão por largura: .
Tensão de cisalhamento na parede: .
Velocidade no centro: .
Hipótese laminar validada ().