Observaçōes
a. Todas as questōes devem conter hipoteses explicitadas.
b. Todas as questōes devem conter equacionamento detalhado.
c. Todas as questōes devem ser comentadas e resultados comparados.
Dado óleo escoa entre duas placas paralelas horizontais fixas. A queda de pressāo por unidade de comprimento ao longo do canal é de 20 kPa / m e a distância entre as superficies é de 4 mm . Suponha escoamento laminar. Qual a taxa volumétrica do escoamento (por metro de largura), a tensâo atuante e a velocidade ao longo da linha de central do canal? Valide a suposição adotada.
Dado: rho=916 kg / m^3 ; mu=0,38 N s / m^2
(2,5ptos)

Passo 1

Breve resumo:
Temos óleo escorrendo em escoamento totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas fixas e horizontais separadas por mu,d^2udy^2 = dpdx, . A perda de pressão é .
Conteúdo: escoamento laminar de um fluido newtoniano em canal de placas (fluxo de Poiseuille plano).
O que vamos precisar:
  1. Hipóteses do modelo (Newtoniano, incompressível, regime permanente, escoamento totalmente desenvolvido, sem deslizamento nas paredes).
  2. Equação de Navier–Stokes reduzida ao balanço de momento unidimensional:
  1. Resolver essa EDO com condições de contorno .
  2. Calcular (vazão por largura), tensão de cisalhamento na parede e velocidade máxima no centro.
  3. Validar laminaridade via número de Reynolds.

Passo 2

Hipóteses explicitadas:
  • Fluido newtoniano (viscosidade constante mu,d^2udy^2 =dpdx(1D, sem termos de ace<=ração e gravidade) ).
  • Incompressível e escoamento permanente.
  • Totalmente desenvolvido em dudy=1mudpdx,y + C1, u(y)=12mudpdx,y^2 + C1,y + C2 (não varia a forma do perfil).
  • Sem deslizamento: 0=12mudpdxH^2 + C1,H Rightarrow C1=-12mudpdx,H e u(y) =12mudpdxl(y^2 - H,yr) .
    Balanço de momento em u(y) =-dp/dx2mu,y,(H-y) =200002cdot0.38,y,(0.004-y) reduz a
çã
Integrando duas vezes em :
BC .
BC
Logo o perfil é
Como , convém usar para achar positivo:

Passo 3

Vazão por unidade de largura Q'=integral0^H u(y),dy =integral0^H-dp/dx2mu,y,(H-y),dy =-dp/dx2mu,H^36 =-dp/dx,H^312,mu (m³/s por metro):
Q'=20000,(0.004)^312cdot0.38 approx2,8times10^-4,rm m^2/s
Substituindo , , :
Comentário: é um valor pequeno, típico de canais muito finos.

Passo 4

Tensão de cisalhamento na parede ( tauw=mududy|y=0 =mu-dp/dx2mu,H =H2,(-dp/dx) =0.0042,20000 =40rm,Pa ):
Comentário: 40 Pa é a força por metro quadrado que o fluido “arrasta” na superfície.

Passo 5

Velocidade no centro ( umax=ul(H/2r) =-dp/dx2mu,H2l(H-H2r) =200002cdot0.38,0.002cdot0.002 approx0,105rm,m/s ):
Comentário: é bem lento, menos de 0,2 m/s.

Passo 6

Validando laminaridade pelo Reynolds (usar Re=rho,umax,Hmu =916cdot0.105cdot0.0040.38approx1,0ll2000, e altura ):
Logo a hipótese laminar está super segura.

Resposta

Vazão por largura: .
Tensão de cisalhamento na parede: .
Velocidade no centro: .
Hipótese laminar validada ( ).

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