5^a QUESTÃO (4 pontos): Deduza uma expressão para quantificar a subida (h) de um líquido por um tubo capilar, em função de seu raio R, da tensão superficial sigma (atuante segundo um ângulo theta ), e da massa específica rho do líquido. Dica: considere o balanço de forças atuantes no volume de controle associado à altura h.

Passo 1

O problema pede para achar a altura que um líquido sobe dentro de um capilar de raio . A matéria é capilaridade, que envolve tensão superficial , ângulo de contato e peso do líquido (via densidade e gravidade ). Para resolver, vamos montar o balanço de forças no “tubinho” de líquido: força da tensão superficial puxando pra cima e peso do líquido puxando pra baixo.

Passo 2

Antes de tudo, o que é tensão superficial?
É como se a superfície do líquido fosse uma “membrana elástica” que tenta encolher. Na parede do tubo, essa “membrana” se prende sob um ângulo . Só a componente vertical dessa força de tensão superficial ajuda a sustentar o líquido no tubo.

Passo 3

Vamos desenhar mentalmente um cilindro de líquido de raio e altura .
  1. Peso do cilindro:
    massa = volume =
    então
    (força pra baixo).
  2. Força da tensão superficial:
    • A borda de contato é um círculo de perímetro .
    • A tensão superficial total é , mas só a projeção vertical conta, que é .
      Logo
      (força pra cima).

Passo 4

No equilíbrio, a força da tensão superficial sobe exatamente iguala o peso do líquido que desce:
Fsigma = P Longrightarrow 2pi R,sigma,costheta = rho,g,pi R^2,h

Passo 5

Agora a gente isola h = 2pi R,sigma,costhetarho,g,pi R^2 = 2,sigma,costhetarho,g,R . Primeiro divide ambos os lados por :

Resposta

boxed,h = 2,sigma,costhetarho,g,R,

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