Uma comporta é utilizada para controle do fluxo de água em uma barragem. A comporta possui 5 m de largura. Determinar a magnitude, direção e linha e atuação da força que a água exerce na comporta
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a força que a água exerce na comporta:
magnitude (valor da força),
direção da força,
linha de atuação (onde, em profundidade e em largura, essa força age).
Informações fornecidas pelo enunciado:
largura da comporta: \;b=5\\ \text{m}.
Informações que faltam e que são necessárias para obter um valor numérico:
altura (profundidade) da coluna d’água contra a comporta; vou chamar essa altura de \;h.
Sem \;h não dá para fornecer um valor numérico final. Portanto vou resolver o problema em forma simbólica (expressões em função de \;h) e também fornecer a expressão numérica que você pode usar substituindo o valor de \;h. Vou assumir que a comporta é um painel plano vertical, com a aresta superior alinhada com a superfície livre da água (caso contrário a posição de referência vertical muda — eu explico isso adiante). Também adotarei os valores usuais para a água: densidade \;\rho=1000\\ \text{kg/m}^3 e aceleração da gravidade \;g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
Passo 2
Conceito fundamental — pressão hidrostática:
A pressão estática da água a uma profundidade \;y (medida a partir da superfície livre, para baixo) é dada por
p(y)=\rho g y.
Explicação: a pressão cresce linearmente com a profundidade porque o peso da coluna de fluido acima aumenta. Aqui \rho é a densidade do fluido (\text{kg/m}^3), g é a gravidade (\text{m/s}^2) e y é a profundidade (\text{m}). Unidade de p é \text{N/m}^2 (Pascal).
Passo 3
Como calcular a força resultante numa superfície plana vertical:
Imagine um elemento horizontal muito fino da comporta, à profundidade \;y, com altura \;dy e largura \;b. A área desse elemento é \;dA=b\,dy.
A pressão nesse elemento é \;p(y)=\rho g y, então a força sobre esse elemento é
dF = p(y)\,dA = \rho g y \, b\, dy.
A força resultante total é a integral de dF ao longo de toda a altura do painel, de y=0 (superfície) até y=h (fundo do painel):
F=\int_{0}^{h} \rho g y\, b\, dy.
Passo 4
Cálculo da magnitude da força (integração passo a passo):
Tire constantes para fora da integral:
F=\rho g b \int_{0}^{h} y\, dy.
Calcule a integral:
\int_{0}^{h} y\, dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{h} = \frac{h^{2}}{2}.
Logo
F=\rho g b \frac{h^{2}}{2}.
Interpretação: a força resultante é igual à pressão avaliada no centróide da área multiplicada pela área; para uma superfície vertical a pressão efetiva é a que existe na profundidade média (h/2) — por isso aparece h^{2}/2.
Se você quiser a expressão numérica usando \rho=1000\\ \text{kg/m}^3, g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 e b=5\\ \text{m}, então
A pressão age sempre normal à superfície. Para uma comporta plana vertical a força resultante é horizontal, empurrando a comporta para fora (perpendicular ao painel).
Portanto a direção é horizontal, numa reta perpendicular à superfície da comporta.
Passo 6
Linha de atuação (profundidade do ponto de aplicação — centro de pressão):
O ponto de aplicação vertical (profundidade do centro de pressão) é dado por
\bar{y}=\frac{1}{F}\int_{0}^{h} y\, dF = \frac{1}{F}\int_{0}^{h} y\cdot(\rho g y b)\, dy = \frac{\rho g b}{F}\int_{0}^{h} y^{2}\, dy.
Calcule a integral:
\int_{0}^{h} y^{2}\, dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{h} = \frac{h^{3}}{3}.
Substituindo F=\rho g b \dfrac{h^{2}}{2}, obtemos:
\bar{y}=\frac{\rho g b \cdot \dfrac{h^{3}}{3}}{\rho g b \cdot \dfrac{h^{2}}{2}} = \frac{\dfrac{h^{3}}{3}}{\dfrac{h^{2}}{2}} = \frac{h}{3}\cdot 2 = \frac{2h}{3}.
Interpretação física: o centro de pressão fica mais abaixo que o centróide geométrico da área (que está em h/2), porque a pressão aumenta com a profundidade; aqui para um retângulo vertical com topo na superfície, o centro de pressão fica a \tfrac{2}{3}h medido a partir da superfície livre.
Passo 7
Posição horizontal (ao longo da largura) e resumo físico:
A distribuição de pressão é simétrica ao longo da largura b. Portanto, a componente horizontal da resultante age no meio da largura:
x=\frac{b}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5\\ \text{m}
a partir de uma borda lateral (ou seja, no centro horizontal da comporta).
Resumo das informações obtidas (em função de \;h):
magnitude: \;F=\rho g b \dfrac{h^{2}}{2},
direção: horizontal (perpendicular à comporta),
linha de atuação: na profundidade \;\bar{y}=\dfrac{2h}{3} abaixo da superfície livre e na metade da largura \;x=b/2.
Resposta
F=\rho g b \dfrac{h^{2}}{2} \quad (com \rho=1000\\ \text{kg/m}^3,\\ g=9{,}81\\ \text{m/s}^2,\\ b=5\\ \text{m} dá F=24525\;h^{2}\\ \text{N})
Direção: horizontal (perpendicular à comporta)
Linha de atuação: a uma profundidade \bar{y}=\dfrac{2h}{3} medida a partir da superfície livre, e horizontalmente no centro da largura \;x=\dfrac{b}{2}=2{,}5\\ \text{m}