Considerando que a pressão na atmosfera varia (hipoteticamente) de forma hidrostática, determine a altura máxima na qual pode ser aplicada a hipótese do contínuo para o projeto aerodinâmico de um avião (considerar um volume mínimo do “ponto material” de
, que deve conter , ao menos, 1000 moléculas) considerando
a. Densidade contaste.
b. Gás ideal (considere T=
cte.).
a. Densidade contaste.
b. Gás ideal (considere T=
Passo 1
O enunciado pede: determinar a altura máxima
na qual a hipótese do contínuo pode ser aplicada ao projeto aerodinâmico, tomando como critério que um “ponto material” mínimo de volume contém pelo menos 1000 moléculas. Há duas situações separadas a resolver:
a) assumir densidade constante (com equilíbrio hidrostático para a pressão);
b) assumir gás ideal isotérmico ( ) com equilíbrio hidrostático.
a) assumir densidade constante (com equilíbrio hidrostático para a pressão);
b) assumir gás ideal isotérmico (
Informações e dados que vamos usar (não foram fornecidos pelo enunciado, então uso valores padrão da atmosfera ao nível do mar):
Vou usar também a constante dos gases específicos do ar
Passo 2
Conceito físico e critério de contínuo (muito importante explicar bem): a hipótese do contínuo significa que, na menor escala que vamos usar (
), existem muitas moléculas de forma que grandezas macroscópicas (densidade, pressão, velocidade média) façam sentido sem ruído molecular grande. Quantitativamente usamos o critério pedido:
onde
é a densidade numérica (número de moléculas por volume) em altura
. Portanto a condição equivalente é
Explico as variáveis:
-
= número de moléculas por metro cúbico em altura ; -
= volume do ponto material; -
= 1000 moléculas (limite mínimo).
Para relacionar
com pressão vamos usar duas relações possíveis:
- para ar com densidade constante:
(constante) e a pressão varia por equilíbrio hidrostático; - para gás ideal isotérmico: usamos a equação dos gases
junto com o equilíbrio hidrostático para obter e .
Agora aplicamos isso em cada caso.
Passo 3
Caso (a) — densidade constante.
- Primeiro calculemos a densidade numérica ao nível do mar
a partir de . A relação entre massa por volume e número de moléculas é
onde
é a massa de uma molécula média do ar. Como
(com
número de Avogadro), podemos escrever
Vou calcular numericamente (mostrando passos):
e então
- Número de moléculas no volume mínimo:
Isso é muito maior que
, então, enquanto a densidade permanecer igual a
, o critério do contínuo é satisfeito.
- Mas o enunciado diz que a pressão varia hidrostáticamente. Se a densidade é constante (hipótese do item a), a equação hidrostática é
Integrando com
obtemos pressão linear:
Essa expressão cai até atingir zero; abaixo de zero não faz sentido físico, então o modelo com densidade constante e equilíbrio hidrostático só se aplica até a altura
tal que
. Portanto a altura máxima consistente com esse modelo é
- Calculemos numericamente:
Portanto, sob a hipótese (a) (densidade constante e hidrostática), o modelo só é consistente até cerca de
. Dentro desse intervalo a condição do contínuo está amplamente satisfeita (pois
).
Passo 4
Interpretação do caso (a) e observações importantes (didática curta):
- A razão da altura limitada (≈
) é que assumir densidade constante com equilíbrio hidrostático força a pressão a decrescer linearmente até zero numa altura finita; esse é um artefato do modelo irrealista de densidade constante. - No entanto, o critério do contínuo (1000 moléculas em
) estaria satisfeito em toda essa região com folga enorme. Se quisessemos apenas saber até onde o contínuo vale, sem impor a phys. coerência do perfil de pressão, a densidade constante implicaria validade indefinida (já que não cai). Mas o enunciado exige hidrostática, então impomos e obtivemos acima.
Passo 5
Caso (b) — gás ideal isotérmico (
).
- Começamos da equação do equilíbrio hidrostático geral e da lei dos gases ideais. A equação hidrostática é
Para gás ideal isotérmico temos
(onde
é a constante específica do ar). Substituindo na hidrostática:
Isso é uma equação diferencial simples de primeira ordem com solução exponencial. Separando e integrando:
- A densidade numérica
relaciona-se com a pressão por
O critério do contínuo
fica
onde definimos a pressão-limite
- Para encontrar
resolvemos . Usando a forma exponencial:
Isolando
:
Passo 6
Cálculos numéricos para (b) (mostrando contas):
- Calcule
:
- Calcule a altura característica (escala de altura)
- Calcule o logaritmo
- Finalmente
Ou seja, aproximadamente
(cerca de
).
Passo 7
Interpretação final e notas práticas (didática curta e encorajadora):
- Resultado (a):
. Esse valor vem do modelo hipotético de densidade constante aplicado com hidrostática; é um limite do modelo, não tanto do critério de contagem de moléculas (que seria satisfeita com folga). - Resultado (b):
(≈ ). Este resultado mostra que, usando o critério pedido (apenas 1000 moléculas em ), a hipótese do contínuo seria válida muito alto na atmosfera isotérmica ideal — porque o requisito de apenas 1000 moléculas é muito permissivo. Na prática, para aerodinâmica (fluxo contínuo, Navier–Stokes etc.) usa-se normalmente critérios baseados no número de Knudsen (razão entre comprimento livre médio e dimensão característica), que dão limites bem mais baixos (tipicamente dezenas de km dependendo da situação). - Em resumo: os dois modelos dão limites bem diferentes porque as hipóteses físicas são distintas; o caso (b) é o que faz mais sentido fisicamente e mostra validade do contínuo até altitudes muito grandes segundo o critério puramente numérico pedido.