Considerando que a pressão na atmosfera varia (hipoteticamente) de forma hidrostática, determine a altura máxima na qual pode ser aplicada a hipótese do contínuo para o projeto aerodinâmico de um avião (considerar um volume mínimo do “ponto material” de 1 \mathrm{~mm}^{3}, que deve conter , ao menos, 1000 moléculas) considerando
a. Densidade contaste.
b. Gás ideal (considere T= 300 \mathrm{~K}= cte.).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura máxima z na qual a hipótese do contínuo pode ser aplicada ao projeto aerodinâmico, tomando como critério que um “ponto material” mínimo de volume contém pelo menos 1000 moléculas. Há duas situações separadas a resolver:
a) assumir densidade constante (com equilíbrio hidrostático para a pressão);
b) assumir gás ideal isotérmico ( T=300\\ \mathrm{K}) com equilíbrio hidrostático.
Informações e dados que vamos usar (não foram fornecidos pelo enunciado, então uso valores padrão da atmosfera ao nível do mar):
\begin{aligned} &\text{Volume mínimo: } V_{\min} = 1\\ \mathrm{mm}^3 = 1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^3,\\\ &\text{Número mínimo de moléculas: } N_{\min} = 1000,\\\ &\text{Pressão ao nível do mar: } p_0 = 101325\\ \mathrm{Pa},\\\ &\text{Densidade ao nível do mar (ar): } \rho_0 = 1,225\\ \mathrm{kg/m}^3,\\\ &\text{Aceleração da gravidade: } g = 9,81\\ \mathrm{m/s}^2,\\\ &\text{Constante de Boltzmann: } k_B = 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K},\\\ &\text{Temperatura (caso b): } T = 300\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Massa molar média do ar: } M = 0,029\\ \mathrm{kg/mol},\\\ &\text{Constante universal dos gases: } R_u = 8,314462618\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.\\\ \end{aligned}íúíéãííçãé
Vou usar também a constante dos gases específicos do ar
R = \frac{R_u}{M}\approx 287\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}.

Passo 2

Conceito físico e critério de contínuo (muito importante explicar bem): a hipótese do contínuo significa que, na menor escala que vamos usar ( V_{\min}), existem muitas moléculas de forma que grandezas macroscópicas (densidade, pressão, velocidade média) façam sentido sem ruído molecular grande. Quantitativamente usamos o critério pedido:
N(z)=n(z)\,V_{\min} \ge N_{\min},
onde n(z) é a densidade numérica (número de moléculas por volume) em altura z. Portanto a condição equivalente é
n(z) \ge \frac{N_{\min}}{V_{\min}}.
Explico as variáveis:
  • n(z) = número de moléculas por metro cúbico em altura z;
  • V_{\min} = volume do ponto material;
  • N_{\min} = 1000 moléculas (limite mínimo).
Para relacionar n(z) com pressão vamos usar duas relações possíveis:
  1. para ar com densidade constante: n(z)=n_0 (constante) e a pressão varia por equilíbrio hidrostático;
  2. para gás ideal isotérmico: usamos a equação dos gases \,p(z)=n(z)k_B T junto com o equilíbrio hidrostático \,dp/dz=-\rho g para obter p(z) e n(z).
Agora aplicamos isso em cada caso.

Passo 3

Caso (a) — densidade constante.
  1. Primeiro calculemos a densidade numérica ao nível do mar n_0 a partir de \rho_0. A relação entre massa por volume e número de moléculas é
n_0 = \frac{\rho_0}{m},
onde m é a massa de uma molécula média do ar. Como m = M/N_A (com N_A número de Avogadro), podemos escrever
n_0 = \frac{\rho_0}{M}N_A.
Vou calcular numericamente (mostrando passos):
\frac{\rho_0}{M} = \frac{1,225}{0,029}\approx 42,24\\ \mathrm{mol/m}^3,
e então
n_0 \approx 42,24\cdot 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} \approx 2,54\times10^{25}\\ \mathrm{molecules/m}^3.
  1. Número de moléculas no volume mínimo:
N_0 = n_0 V_{\min} \approx 2,54\times10^{25}\cdot 1\times10^{-9} \approx 2,54\times10^{16}.
Isso é muito maior que N_{\min}=1000, então, enquanto a densidade permanecer igual a \rho_0, o critério do contínuo é satisfeito.
  1. Mas o enunciado diz que a pressão varia hidrostáticamente. Se a densidade é constante (hipótese do item a), a equação hidrostática é
\frac{dp}{dz} = -\rho_0 g.
Integrando com p(0)=p_0 obtemos pressão linear:
p(z)=p_0-\rho_0 g z.
Essa expressão cai até atingir zero; abaixo de zero não faz sentido físico, então o modelo com densidade constante e equilíbrio hidrostático só se aplica até a altura z tal que p(z)=0. Portanto a altura máxima consistente com esse modelo é
z_{\max}^{(a)} = \frac{p_0}{\rho_0 g}.
  1. Calculemos numericamente:
z_{\max}^{(a)} = \frac{101325}{1,225\cdot 9,81} = \frac{101325}{12,02025}\approx 8,44\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
Portanto, sob a hipótese (a) (densidade constante e hidrostática), o modelo só é consistente até cerca de 8{,}4\\ \mathrm{km}. Dentro desse intervalo a condição do contínuo está amplamente satisfeita (pois N_0\sim10^{16}\gg 10^{3}).

Passo 4

Interpretação do caso (a) e observações importantes (didática curta):
  • A razão da altura limitada (≈ 8{,}4\\ \mathrm{km}) é que assumir densidade constante com equilíbrio hidrostático força a pressão a decrescer linearmente até zero numa altura finita; esse é um artefato do modelo irrealista de densidade constante.
  • No entanto, o critério do contínuo (1000 moléculas em 1\\ \mathrm{mm}^3) estaria satisfeito em toda essa região com folga enorme. Se quisessemos apenas saber até onde o contínuo vale, sem impor a phys. coerência do perfil de pressão, a densidade constante implicaria validade indefinida (já que n não cai). Mas o enunciado exige hidrostática, então impomos p(z)\ge0 e obtivemos z_{\max}^{(a)} acima.

Passo 5

Caso (b) — gás ideal isotérmico ( T=300\\ \mathrm{K}).
  1. Começamos da equação do equilíbrio hidrostático geral e da lei dos gases ideais. A equação hidrostática é
\frac{dp}{dz} = -\rho g.
Para gás ideal isotérmico temos \rho = \dfrac{p}{R T} (onde R é a constante específica do ar). Substituindo na hidrostática:
\frac{dp}{dz} = -\frac{p}{R T}\,g.
Isso é uma equação diferencial simples de primeira ordem com solução exponencial. Separando e integrando:
\frac{dp}{p} = -\frac{g}{R T}\,dz \quad\Longrightarrow\quad p(z)=p_0\exp\!\Big(-\frac{g z}{R T}\Big).
  1. A densidade numérica n(z) relaciona-se com a pressão por
p(z)=n(z)k_B T \quad\Longrightarrow\quad n(z)=\frac{p(z)}{k_B T}.
O critério do contínuo n(z)V_{\min}\ge N_{\min} fica
\frac{p(z)}{k_B T}\,V_{\min} \ge N_{\min} \quad\Longrightarrow\quad p(z) \ge p_{\text{lim}},
onde definimos a pressão-limite
p_{\text{lim}} = \frac{N_{\min}\,k_B T}{V_{\min}}.
  1. Para encontrar z_{\max}^{(b)} resolvemos p(z_{\max}^{(b)})=p_{\text{lim}}. Usando a forma exponencial:
p_0\exp\!\Big(-\frac{g z_{\max}^{(b)}}{R T}\Big)=p_{\text{lim}}.
Isolando z_{\max}^{(b)}:
z_{\max}^{(b)} = \frac{R T}{g}\ln\!\Big(\frac{p_0}{p_{\text{lim}}}\Big).

Passo 6

Cálculos numéricos para (b) (mostrando contas):
  1. Calcule p_{\text{lim}}:
p_{\text{lim}}=\frac{1000\cdot k_B\cdot T}{V_{\min}} = \frac{1000\cdot 1,380649\times10^{-23}\cdot 300}{1\times10^{-9}} \approx 4,14\times10^{-9}\\ \mathrm{Pa}.
  1. Calcule a altura característica (escala de altura)
H=\frac{R T}{g}=\frac{287\cdot 300}{9,81}\approx 8{,}78\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
  1. Calcule o logaritmo
\ln\!\Big(\frac{p_0}{p_{\text{lim}}}\Big) = \ln\!\Big(\frac{1,01325\times10^{5}}{4,14\times10^{-9}}\Big) \approx 30{,}83.
  1. Finalmente
z_{\max}^{(b)} = H\cdot 30{,}83 \approx 8{,}78\times10^{3}\cdot 30{,}83 \approx 2,71\times10^{5}\\ \mathrm{m}.
Ou seja, aproximadamente 2,7\times10^{5}\\ \mathrm{m} (cerca de 270\\ \mathrm{km}).

Passo 7

Interpretação final e notas práticas (didática curta e encorajadora):
  • Resultado (a): z_{\max}^{(a)}\approx 8{,}4\\ \mathrm{km}. Esse valor vem do modelo hipotético de densidade constante aplicado com hidrostática; é um limite do modelo, não tanto do critério de contagem de moléculas (que seria satisfeita com folga).
  • Resultado (b): z_{\max}^{(b)}\approx 2,7\times10^{5}\\ \mathrm{m} (≈ 270\\ \mathrm{km}). Este resultado mostra que, usando o critério pedido (apenas 1000 moléculas em 1\\ \mathrm{mm}^3), a hipótese do contínuo seria válida muito alto na atmosfera isotérmica ideal — porque o requisito de apenas 1000 moléculas é muito permissivo. Na prática, para aerodinâmica (fluxo contínuo, Navier–Stokes etc.) usa-se normalmente critérios baseados no número de Knudsen (razão entre comprimento livre médio e dimensão característica), que dão limites bem mais baixos (tipicamente dezenas de km dependendo da situação).
  • Em resumo: os dois modelos dão limites bem diferentes porque as hipóteses físicas são distintas; o caso (b) é o que faz mais sentido fisicamente e mostra validade do contínuo até altitudes muito grandes segundo o critério puramente numérico pedido.

Resposta

z_{\max}^{(a)}\approx 8{,}44\times10^{3}\\ \mathrm{m}
z_{\max}^{(b)}\approx 2{,}71\times10^{5}\\ \mathrm{m}

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