O comportamento de uma população de parasitas em uma vaca após a aplicação de veneno pode ser modelado
q(t)=10 t e^-t8
t em horas.
a) Após quantas horas a quantidade de parasitas é máxima?
b) Qual é a quantidade máxima de parasitas?
Resposta: a ) t=8 b) q(8) approx 37

Passo 1

O enunciado dá a função da população de parasitas numa vaca após aplicação de veneno: q(t)=10 t e^{−t/8}, com t em horas. A tarefa é achar quando essa população atinge o máximo e qual é esse valor. Vamos usar conceitos de otimização de funções reais, derivadas e teste de concavidade.

Passo 2

Para encontrar o tempo em que q(t) é máxima, precisamos calcular a derivada q′(t), igualá-la a zero e verificar que seja um máximo. Esse é o procedimento padrão de cálculo de extremos em funções diferenciais.

Passo 3

Aplicando a regra do produto a q(t)=10 t e^{−t/8}, temos:
q'(t)=10,e^−t/8+10,tcdotl(-tfrac18r)e^−t/8
Fatorando e^{−t/8}, fica
q'(t)=10,e^−t/8l(1-tfract8r)

Passo 4

Igualando q′(t)=0 e lembrando que e^{−t/8}>0 para todo t, obtemos
1-tfract8=0
Logo
t=8 horas
Para garantir que é máximo, notamos que a concavidade vira negativa em t=8 (segunda derivada <0), confirmando um ponto de máximo.

Passo 5

Agora basta calcular q(8):
q(8)=10cdot8,e^−8/8=80,e^−1=80eapprox29,4

Resposta

a) t=8 horas; b) qmax=tfrac80eapprox29,4

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