O comportamento de uma população de parasitas em uma vaca após a aplicação de veneno pode ser modelado
t em horas.
a) Após quantas horas a quantidade de parasitas é máxima?
b) Qual é a quantidade máxima de parasitas?
Resposta:
)
b)
a) Após quantas horas a quantidade de parasitas é máxima?
b) Qual é a quantidade máxima de parasitas?
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá a função da população de parasitas numa vaca após aplicação de veneno: q(t)=10 t e^{−t/8}, com t em horas. A tarefa é achar quando essa população atinge o máximo e qual é esse valor. Vamos usar conceitos de otimização de funções reais, derivadas e teste de concavidade.
Passo 2
Para encontrar o tempo em que q(t) é máxima, precisamos calcular a derivada q′(t), igualá-la a zero e verificar que seja um máximo. Esse é o procedimento padrão de cálculo de extremos em funções diferenciais.
Passo 3
Aplicando a regra do produto a q(t)=10 t e^{−t/8}, temos:
Fatorando e^{−t/8}, fica
Passo 4
Igualando q′(t)=0 e lembrando que e^{−t/8}>0 para todo t, obtemos
Logo
Para garantir que é máximo, notamos que a concavidade vira negativa em t=8 (segunda derivada <0), confirmando um ponto de máximo.
Passo 5
Agora basta calcular q(8):
Resposta
a)
horas; b)