Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
z=x^2-y^2, P=(-1,0).

Passo 1

Neste exercício temos a superfície definida por z = x^2 - y^2 e o ponto no plano P = (-1,0). O conteúdo que vamos usar é derivadas parciais para obter o gradiente da função f(x,y)=x^2-y^2 e, em seguida, aplicar a fórmula do plano tangente a uma superfície dada por z=f(x,y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2-y^2:
fx = partialpartial x(x^2 - y^2) = 2x,
fy = partialpartial y(x^2 - y^2) = -2y
Avaliando em (x0,y0)=(-1,0):
fx(-1,0) = 2cdot(-1) = -2,
fy(-1,0) = -2cdot0 = 0,
e o valor de z0=f(-1,0)=(-1)^2-0^2=1

Passo 3

A equação geral do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo x0=-1, y0=0, z0=1, fx(-1,0)=-2 e fy(-1,0)=0, obtemos
z - 1 = -2,(x + 1) + 0cdot(y - 0)
Simplificando, chega-se a
z = -2x - 1

Resposta

z = -2x - 1

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