Use a Regra da Cadeia para determinar d vd t :
v=x e^y / z, com x=t^2, y=1-t e z=1+2 t

Passo 1

Enunciado: queremos achar dvdt para v = x e^y/z onde x = t^2, y = 1 - t e z = 1 + 2t. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis e precisaremos de derivadas parciais de v em relação a x,y,z e das derivadas de x,y,z em relação a t.

Passo 2

A regra da cadeia diz que
dvdt = partial vpartial xdxdt + partial vpartial ydydt + partial vpartial zdzdt
Como x = t^2, y = 1 - t, z = 1 + 2t, temos
dxdt = 2t, dydt = -1, dzdt = 2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de v = x e^y/z:
partial vpartial x = e^y/z, partial vpartial y = x e^y/zcdot1z, partial vpartial z = x e^y/zcdotl(-yz^2r)

Passo 4

Substituindo na regra da cadeia e fatorando e^y/z, obtemos
dvdt = e^y/zl(2t + xcdot1zcdot(-1) + xcdotl(-yz^2r)cdot 2r) = e^y/zl(2t - xz - 2xyz^2r)

Passo 5

Por fim, substituindo x = t^2, y = 1 - t e z = 1 + 2t, chegamos à forma final:

Resposta

dvdt = e^1 - t1 + 2tl(2t - t^21 + 2t - 2t^2(1 - t)(1 + 2t)^2r)

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