Seja a curva
. Calcule o comprimento da curva para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva dada por $ y = x^{3/2} $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 3 $. Isso envolve um conteúdo de cálculo chamado “comprimento de arco” de uma curva. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco e entender um pouquinho sobre derivadas, já que elas fazem parte do processo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $:
Essa fórmula nos diz que para encontrar o comprimento da curva, precisamos integratar a raiz quadrada de $ 1 $ mais o quadrado da derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, vamos identificar $ f(x) $ na nossa curva. Aqui, $ f(x) = x^{3/2} $. Então, precisamos achar a derivada $ \frac{dy}{dx} $.
Derivar $ x^{3/2} $ significa aumentar o expoente em 1 e multiplicar pelo coeficiente. Aplicando a regra da potência:
Passo 4
Substituindo a derivada na fórmula do comprimento de arco, temos:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto,
Agora, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral $ \int \sqrt{9x + 4} , dx $. Para isso, usamos uma substituição para simplificar:
Seja $ u = 9x + 4 $, então $ du = 9 , dx $ ou $ dx = \frac{du}{9} $.
Substituindo na integral:
Integrando $ u^{1/2} $:
Voltando para $ x $:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de $ 1 $ a $ 3 $:
Calculando para $ x = 3 $:
E para $ x = 1 $:
Então:
Resposta
O comprimento da curva $ y = x^{3/2} $ de $ x = 1 $ até $ x = 3 $ é: