Seja a curva y=x^3 / 2. Calcule o comprimento da curva para 1 <= x <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva dada por $ y = x^{3/2} $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 3 $. Isso envolve um conteúdo de cálculo chamado “comprimento de arco” de uma curva. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco e entender um pouquinho sobre derivadas, já que elas fazem parte do processo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $:
y = f(x)
Essa fórmula nos diz que para encontrar o comprimento da curva, precisamos integratar a raiz quadrada de $ 1 $ mais o quadrado da derivada de $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

Agora, vamos identificar $ f(x) $ na nossa curva. Aqui, $ f(x) = x^{3/2} $. Então, precisamos achar a derivada $ \frac{dy}{dx} $.
Derivar $ x^{3/2} $ significa aumentar o expoente em 1 e multiplicar pelo coeficiente. Aplicando a regra da potência:
f(x)

Passo 4

Substituindo a derivada na fórmula do comprimento de arco, temos:
L = integral1^3 raiz1 + ( 32 x^1/2 )^2 , dx
Vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada:
( 32 x^1/2 )^2 = 94 x
Então, a expressão fica:
L = integral1^3 raiz1 + 94 x , dx

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
1 + 94 x = 4 + 9x4 = 9x + 44
Portanto,
raiz1 + 94 x = raiz9x + 44 = raiz9x + 42
Agora, nossa integral fica:
L = integral1^3 raiz9x + 42 , dx = 12 integral1^3 raiz9x + 4 , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral $ \int \sqrt{9x + 4} , dx $. Para isso, usamos uma substituição para simplificar:
Seja $ u = 9x + 4 $, então $ du = 9 , dx $ ou $ dx = \frac{du}{9} $.
Substituindo na integral:
integral raiz9x + 4 , dx
Integrando $ u^{1/2} $:
u = 9x + 4
Voltando para $ x $:
du = 9 , dx

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de $ 1 $ a $ 3 $:
1
Calculando para $ x = 3 $:
3
E para $ x = 1 $:
L = 12 [ 227 (9x + 4)^3/2 ]1^3 = 127 [ (9x + 4)^3/2 ]1^3
Então:
x = 3

Resposta

O comprimento da curva $ y = x^{3/2} $ de $ x = 1 $ até $ x = 3 $ é:
y = x^3/2

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