O comportamento qualitativo de longo prazo de um modelo de corrida armamentista de Richardson pode, em alguns casos, depender das condições iniciais. Considere, por exemplo, o sistema
Para cada uma das condições iniciais dadas abaixo, verifique que a solução proposta funciona e discuta o comportamento a longo prazo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um modelo de corrida armamentista de Richardson, que é um sistema de equações diferenciais. A gente tem duas equações que descrevem como as variáveis
e
mudam ao longo do tempo. O objetivo é verificar se as soluções propostas para um conjunto inicial de condições realmente funcionam e entender como elas se comportam a longo prazo. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e análise de comportamento de sistemas dinâmicos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as soluções propostas satisfazem o sistema de equações dado. As soluções propostas são:
Vamos calcular as derivadas dessas soluções em relação ao tempo
:
Agora, vamos substituir
,
,
e
nas equações do sistema para ver se elas se igualam.
Para a primeira equação:
Substituindo:
Vamos simplificar o lado direito:
Ficou igual, então a primeira equação está correta.
Agora, para a segunda equação:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Também está igual, então a segunda equação está correta. Portanto, as soluções propostas realmente resolvem o sistema para as condições iniciais
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento a longo prazo das soluções
e
.
Observando as soluções, vemos que a parte $ -9 e^{t}$ cresce exponencialmente no tempo porque a base
está sendo elevada a
, que aumenta sem limites. Isso significa que conforme
aumenta, $ -9 e^{t}$ se torna cada vez mais negativo, fazendo com que
e
também se tornem cada vez mais negativos sem limite.
Portanto, a solução indica que tanto
quanto
decrescem de forma exponencialmente acelerada para valores negativos infinitos à medida que o tempo
tende ao infinito.
Resposta
As soluções propostas satisfazem o sistema para as condições iniciais dadas, e a longo prazo
e
tendem a menos infinito de forma exponencial.