O comportamento qualitativo de longo prazo de um modelo de corrida armamentista de Richardson pode, em alguns casos, depender das condições iniciais. Considere, por exemplo, o sistema
& d xd t=3 y-2 x-10 & d yd t=4 x-3 y-10
Para cada uma das condições iniciais dadas abaixo, verifique que a solução proposta funciona e discuta o comportamento a longo prazo:
x(0)=1, y(0)=1: x(t)=10-9 e^t, y(t)=10-9 e^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um modelo de corrida armamentista de Richardson, que é um sistema de equações diferenciais. A gente tem duas equações que descrevem como as variáveis x e y mudam ao longo do tempo. O objetivo é verificar se as soluções propostas para um conjunto inicial de condições realmente funcionam e entender como elas se comportam a longo prazo. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e análise de comportamento de sistemas dinâmicos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as soluções propostas satisfazem o sistema de equações dado. As soluções propostas são:
x(t) = 10 - 9 e^t, y(t) = 10 - 9 e^t
Vamos calcular as derivadas dessas soluções em relação ao tempo t:
d xd t = -9 e^t, d yd t = -9 e^t
Agora, vamos substituir x(t), y(t), d xd t e d yd t nas equações do sistema para ver se elas se igualam.
Para a primeira equação:
d xd t = 3 y - 2 x - 10
Substituindo:
-9 e^t = 3(10 - 9 e^t) - 2(10 - 9 e^t) - 10
Vamos simplificar o lado direito:
-9 e^t = 30 - 27 e^t - 20 + 18 e^t - 10
-9 e^t = (30 - 20 - 10) + (-27 e^t + 18 e^t)
-9 e^t = 0 - 9 e^t
-9 e^t = -9 e^t (Verdade)
Ficou igual, então a primeira equação está correta.
Agora, para a segunda equação:
d yd t = 4 x - 3 y - 10
Substituindo:
-9 e^t = 4(10 - 9 e^t) - 3(10 - 9 e^t) - 10
Simplificando o lado direito:
-9 e^t = 40 - 36 e^t - 30 + 27 e^t - 10
-9 e^t = (40 - 30 - 10) + (-36 e^t + 27 e^t)
-9 e^t = 0 - 9 e^t
-9 e^t = -9 e^t (Verdade)
Também está igual, então a segunda equação está correta. Portanto, as soluções propostas realmente resolvem o sistema para as condições iniciais x(0) = 1 e y(0) = 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento a longo prazo das soluções x(t) = 10 - 9 e^t e y(t) = 10 - 9 e^t.
Observando as soluções, vemos que a parte $ -9 e^{t}$ cresce exponencialmente no tempo porque a base -9 e^t está sendo elevada a e, que aumenta sem limites. Isso significa que conforme t aumenta, $ -9 e^{t}$ se torna cada vez mais negativo, fazendo com que t e -9 e^t também se tornem cada vez mais negativos sem limite.
Portanto, a solução indica que tanto x(t) quanto y(t) decrescem de forma exponencialmente acelerada para valores negativos infinitos à medida que o tempo x(t) tende ao infinito.

Resposta

As soluções propostas satisfazem o sistema para as condições iniciais dadas, e a longo prazo x(t) e y(t) tendem a menos infinito de forma exponencial.

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